Równanie trygonometryczne.

[pawlo392]

Rozwiązuję równanie \(\displaystyle{ \sin^2x+\sin^22x=\sin^33x}\) w następujący sposób :
\(\displaystyle{ \sin^22x=(\sin 3x-\sin x) \cdot (\sin 3x + \sin x)}\)
Stosuję wzór na sumę i różnicę i otrzymuję :
\(\displaystyle{ 4\sin^2 x \cos^2=2\sin x \cdot \cos 2x \cdot 2\sin 2x \cdot \cos x}\)
Dzielę przez \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ 2\sin^2x \cdot \cos^2x=\sin x \cdot \cos 2x \cdot \sin 2x \cdot \cos x}\)
Zamieniam \(\displaystyle{ \sin 2 x}\) na \(\displaystyle{ 2\sin x \cos x}\) i dzielę przez \(\displaystyle{ \sin^2x \cdot \cos^2x}\)
Otrzymuję \(\displaystyle{ 2=2\cos 2x}\)
\(\displaystyle{ \cos 2x=0}\)
Ostateczny wynik według mnie to \(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\). W odpowiedziach wynik to : \(\displaystyle{ x=k \cdot \frac{ \pi }{2}}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6}+k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\)

[macik1423]

Może późna pora ale nie rozumiem skąd to \(\displaystyle{ \sin^22x=(\sin 3x-\sin x) \cdot (\sin 3x + \sin x)}\)?
Ja bym to tak zaczął robić
\(\displaystyle{ \sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^3 x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 x +4\sin^2 x\cos^2 x=\sin^3 x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 x+4\sin^2 x(1-\sin^2 x)=\sin^3 x}\)
\(\displaystyle{ -4\sin^4 x-\sin^3 x+5\sin^2 x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 x(-4\sin^2 x-\sin x+5)=0}\)
zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ t=\sin x}\)

[pawlo392]

Może późna pora ale nie rozumiem skąd to \(\displaystyle{ \sin^22x=(\sin 3x-\sin x) \cdot (\sin 3x + \sin x)}\)?
Ja bym to tak zaczął robić
\(\displaystyle{ \sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^3 x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 x +4\sin^2 x\cos^2 x=\sin^3 x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 x+4\sin^2 x(1-\sin^2 x)=\sin^3 x}\)
\(\displaystyle{ -4\sin^4 x-\sin^3 x+5\sin^2 x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 x(-4\sin^2 x-\sin x+5)=0}\)
zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ t=\sin x}\)

Przepraszam Cię za fatygę, ale się pomyliłem. Już jest poprawione. Wybacz za stratę czasu.