Wartość wyrażenia trygonometrycznego.

[pawlo392]

Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest taki, że \(\displaystyle{ \cos \alpha+\sin \alpha = \frac{4}{3}}\). Oblicz wartość \(\displaystyle{ |\cos \alpha -\sin \alpha |}\)

Stworzyłem sobie układ równań :
\(\displaystyle{ \begin{cases}\cos \alpha+\sin \alpha = \frac{4}{3} \\ \cos ^{2} \alpha +\sin ^{2} \alpha =1 \end{cases}}\)

Z pierwszego wyliczyłem \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) i podstawiłem do drugiego.
Otrzymałem równanie \(\displaystyle{ 18\cos ^{2} \alpha -24\cos \alpha +7=0}\)
Zastosowałem podstawienie i otrzymałem takie wyniki :
\(\displaystyle{ t _{1}= \frac{24- \sqrt{72} }{36}}\)
\(\displaystyle{ t _{2}= \frac{24+ \sqrt{72} }{36}}\)
Gdy otrzymałem takie liczby od razu zacząłem szukać innej metody. Znalazłem. Lecz ten pomysł bym pierwszym jaki mi przyszedł do głowy. Chciałbym wiedzieć czy można uzyskać tą metodą poprawny wynik.

[Milczek]

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \left( \frac{ \pi }{2}- \alpha\right)}\) pierwsza myśl ,kombinuj z tym. I wzory na sume/różnice sinusow/cosinusow.

Przepraszam, nie doczytalem, co do metody to na pewno da sie tak uzyskać poprawny wynik choć bedzie to męczące.

[Dilectus]

Może tak:

\(\displaystyle{ \cos \alpha+\sin \alpha = \frac{4}{3}}\)

Podnieśmy stronami do kwadratu:

\(\displaystyle{ \left( \cos \alpha+\sin \alpha\right)^2 = \frac{16}{9}}\)

\(\displaystyle{ 1+2\sin \alpha\cos \alpha=\frac{16}{9}}\)

\(\displaystyle{ 1+\sin 2\alpha=\frac{16}{9}}\)

\(\displaystyle{ \sin 2\alpha= \frac{7}{9}}\)

\(\displaystyle{ \alpha=.......}\)

itd.


Albo tak (znacznie prościej):

\(\displaystyle{ \cos \alpha+\sin \alpha = \frac{4}{3} \quad |\cdot \left( \cos \alpha-\sin \alpha\right)}\)

\(\displaystyle{ \cos 2\alpha= \frac{4}{3} \left( \cos \alpha-\sin \alpha\right)}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha-\sin \alpha= \frac{3}{4}\cos 2\alpha}\)

no to

\(\displaystyle{ \left| \cos \alpha-\sin \alpha\right| = \frac{3}{4}\left| \cos 2\alpha\right|}\)

[Milczek]

Mam jeszcze jedno, ide na kompa wrzucic !

[pawlo392]

Może tak:

\(\displaystyle{ \cos \alpha+\sin \alpha = \frac{4}{3}}\)

Podnieśmy stronami do kwadratu:

\(\displaystyle{ \left( \cos \alpha+\sin \alpha\right)^2 = \frac{16}{9}}\)

\(\displaystyle{ 1+2\sin \alpha\cos \alpha=\frac{16}{9}}\)

\(\displaystyle{ 1+\sin 2\alpha=\frac{16}{9}}\)

\(\displaystyle{ \sin 2\alpha= \frac{7}{9}}\)

\(\displaystyle{ \alpha=.......}\)

No taką metodą rozwiązałem. Ale ta pierwsza nie daje mi spokoju.

[Milczek]

No to tak, korzystając z pracy Dilectus, mamy \(\displaystyle{ 1+2\sin \alpha\cos \alpha=\frac{16}{9}
\Leftrightarrow 2\sin \alpha\cos \alpha = \frac{7}{9}}\).

Teraz lecimy z takim czymś \(\displaystyle{ \sqrt{(\sin \alpha + cos \alpha)^2 - 4\sin \alpha \cos \alpha)} = ....}\).
Kropki do łatwego policzenia

[a4karo]

Oznacz sobie \(\displaystyle{ a=\cos\alpha-\sin\alpha}\)
Z obu równań wyicz \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin\alpha}\), a następnie wykorzystaj jedynke trygonomwtryczną. Wyjdzie dośc banalne równanie na \(\displaystyle{ a}\).

[pawlo392]

No to tak, korzystając z pracy Dilectus, mamy \(\displaystyle{ 1+2\sin \alpha\cos \alpha=\frac{16}{9}
\Leftrightarrow 2\sin \alpha\cos \alpha = \frac{7}{9}}\).

Teraz lecimy z takim czymś \(\displaystyle{ \sqrt{(\sin \alpha + cos \alpha)^2 - 4\sin \alpha \cos \alpha)} = ....}\).
Kropki do łatwego policzenia

Milczek, pytanie z innej beczki. Matura w tym roku ?

[Milczek]

No tuż tuż..

[pawlo392]

No tuż tuż..

No to powodzenia

[Dilectus]

Pozwólcie, że dokończę moje rozumowanie.

Policzyłem, że

\(\displaystyle{ \sin 2\alpha= \frac{7}{9}}\)

I że

\(\displaystyle{ \left| \cos \alpha-\sin \alpha\right| = \frac{3}{4}\left| \cos 2\alpha\right|}\)

Wobec tego

\(\displaystyle{ \left| \cos \alpha-\sin \alpha\right| = \frac{3}{4}\left| \sqrt{1- \sin^22\alpha }\right|= \frac{3}{4} \sqrt{1- \frac{49}{81} }= \frac{3}{4} \sqrt{ \frac{32}{81} }= \frac{1}{3} \sqrt{2}}\)

[pawlo392]

Pozwólcie, że dokończę moje rozumowanie.

Policzyłem, że

\(\displaystyle{ \sin 2\alpha= \frac{7}{9}}\)

I że

\(\displaystyle{ \left| \cos \alpha-\sin \alpha\right| = \frac{3}{4}\left| \cos 2\alpha\right|}\)

Wobec tego

\(\displaystyle{ \left| \cos \alpha-\sin \alpha\right| = \frac{3}{4}\left| \sqrt{1- \sin^22\alpha }\right|= \frac{3}{4} \sqrt{1- \frac{49}{81} }= \frac{3}{4} \sqrt{ \frac{32}{81} }= \frac{1}{3} \sqrt{2}}\)

Szybko i prosto. Co innego ta delta...

[a4karo]

No to ja jednak narysuję swoje:
niech \(\displaystyle{ \cos\alpha-\sin\alpha=a}\) i \(\displaystyle{ \cos\alpha+\sin\alpha=\frac{4}{3}}\)

Dodając i odejmując stronami dostajemy
\(\displaystyle{ 2\cos\alpha=\frac{4}{3}+a}\) i
\(\displaystyle{ 2\sin\alpha=\frac{4}{3}-a}\)

Podnosimy oba równania do kwadratu, dodajemy i mamy
\(\displaystyle{ 4=\left(\frac{4}{3}+a\right)^2+\left(\frac{4}{3}-a\right)^2=2\cdot\frac{16}{9}+2a^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ a^2=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}}\), czyli \(\displaystyle{ |a|=\frac{\sqrt{2}}{3}}\)