suma sinusów równa zero

[alfred0]

Pokaż ze \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{18}\sin{\left(\frac{(2n+1)^2\pi}{38}\right)}=0}\)

[Straznik Teksasu]

Mamy tutaj 19 składników sumy, więc nie jest to tak dużo i można to metodą "siłową" udowodnić.
Wypisujemy kolejne składniki w słupku. Korzystamy z faktu, że okres sinusa wynosi \(\displaystyle{ 2\pi}\). Następnie (o ile trzeba) ze wzorów redukcyjnych, aby każdy składnik przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \pm \sin( \frac{a}{38} )}\) , gdzie \(\displaystyle{ a=0,1,2,...,18,19}\). Myślę, że wszystkie składniki powinny się zredukować do zera bez dalszych operacji.

[alfred0]

|Jakoś nie widze tego. Mam też drugi przykład podobny \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{18}\sin{\left(\frac{(2n)^2\pi}{38}\right)}= \sqrt{19}}\)

[Kartezjusz]

Strażnik. Jak ty to widzisz? Mamy te 38 w mianowniku.-- 17 lutego 2016, 08:32 --Na początek zauważ, że \(\displaystyle{ 38=2 \cdot 19}\).
Co wiemy o resztach z dzielenia kwadratów wszystkich liczb nieparzystych przez 19.

[Straznik Teksasu]

np. dla \(\displaystyle{ n=12}\)

\(\displaystyle{ \sin{\left(\frac{(2 \cdot 12+1)^2\pi}{38}\right)=\sin{\left(\frac{25^2\pi}{38}\right)=\sin{\left(\frac{(8 \cdot 76+17)\pi}{38}\right)=\sin{\left(\frac{17\pi}{38}\right)}\)

Sinus należy do I ćwiartki układu współrzędnych, więc nie trzeba wykorzystywać wzoru redukcyjnego. I tak dla pozostałych \(\displaystyle{ 18}\) przykładów. Chyba, że zna się jakąś właściwość reszty ilorazu kwadratu kolejnych liczb nieparzystych i liczby \(\displaystyle{ 76}\) to można byłoby zdecydowanie szybciej zrobić.

Co się tyczy tej \(\displaystyle{ 38}\) w mianowniku to myślę, że nie będzie trzeba nic robić bo wszystkie sinusy się powinny zredukować. Jeśli się nie zredukują to wzór na sumę sinusów, bo dokładnej wartości pojedynczego sinusa nie da się wyznaczyć.

[Kartezjusz]

Ja bym interpretował bym 19 kątem foremnym.