Rozwiąż równanie (matura 1976)

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Zoltan96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 12 paź 2015, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Rozwiąż równanie (matura 1976)

Post autor: Zoltan96 »

\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}= \sqrt{2}\sin x}\)

Mam do zrobienia takie zadanie, intuicyjnie chciałem prawą stronę zamienić ze wzoru na podwojony kąt a potem obie strony podnosić do kwadratu, jednak w zadaniu nie ma nic o założeniach. Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 4 lut 2016, o 19:49 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Rozwiąż równanie (matura 1976)

Post autor: Premislav »

Może suma sinusów?
\(\displaystyle{ \sin \frac x 2+\cos \frac x 2=\sin \frac x 2+\sin\left( \frac{\pi-x}{2} \right)=2\sin \frac \pi 4 \cos \left( \frac{2x-\pi}{4} \right)=\sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)}\). Dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), a dalej piszemy \(\displaystyle{ \sin x=\cos\left( \frac \pi 2-x\right)}\) i korzystamy z tego, kiedy \(\displaystyle{ \cos \alpha=\cos \beta}\). Siłownia niestety.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Rozwiąż równanie (matura 1976)

Post autor: Milczek »

Oooo ja mam inne podejście(niestety nie jakieś z nieba wzięte ale może zasłużyłem na pochwałe ) :
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}= \sqrt{2} \sin x \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{x}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{x}{2} = \sin x \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos \frac{x}{2} = \sin x \Leftrightarrow \cos(\frac{ \pi }{4}){}\sin \frac{x}{2} + \sin(\frac{ \pi }{4}){}\cos \frac{x}{2} = \sin x \Leftrightarrow \sin( \frac{ \pi }{4} + \frac{x}{2})=\sin x}\).

Przepraszam bardzo za paskudny zapis ale czas gonił
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Rozwiąż równanie (matura 1976)

Post autor: Premislav »

To jest lepsze!
ODPOWIEDZ