Równanie trygonometryczne.

Qyeal · Post autor: **Qyeal** » 31 sty 2016, o 19:27

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0}\)

\(\displaystyle{ (\sin x+\sin 3x)+(\sin 2x+\sin 4x)=0 \\
2\sin \frac{4x}{2}\cos \frac{-2x}{2} + \sin \frac{6x}{2}\cos \frac{-2x}{2} \\
2\sin 2x \cdot \cos (-x)+2\sin 3x \cdot \cos (-x)=0 \\
2\sin 2x \cdot \cos x+2\sin 3x \cdot \cos x=0 \\
2\cos x(\sin 2x+\sin 3x)=0 \\
2\cos x(2\sin x\cos x+ \sin (x+2x))=0 \\
2\cos x(2\sin x\cos x+\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x)=0 \\
2\cos x(2\sin x\cos x+\sin x \cdot (2\cos ^{2}x-1)+\cos x \cdot 2\sin x\cos x =0 \\
2\cos x(2\sin x\cos x+2\sin x\cos ^{2}x-\sin x+2\sin x\cos ^{2} x=0 \\
2\sin x\cos x(4\cos ^{2}x+2\cos x-1) =0}\)
I dalej nie wiem.. :<

a4karo · Post autor: **a4karo** » 31 sty 2016, o 19:41

Zakładająć, że te przekształcenia są poprawne, dalej jest prosto: kiedy iloczyn liczb jest równy zero?

Qyeal · Post autor: **Qyeal** » 31 sty 2016, o 19:43

Jeśli jedna liczba albo druga jest równa zero, generalnie mam problem z drugim nawiasem, nie wiem co z nim zrobić.

Milczek · Post autor: **Milczek** » 31 sty 2016, o 20:16

Podstawiasz w drugim nawiasie \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i rozwiązujesz jak zwykłe kwadratowe.

Qyeal · Post autor: **Qyeal** » 31 sty 2016, o 20:23

\(\displaystyle{ \cos x= \frac{-1- \sqrt{5} }{4} \\
\cos x= \frac{-1+ \sqrt{5} }{4}}\)
co dalej?

-- 31 sty 2016, o 21:34 --

\(\displaystyle{ x _{w}=- \frac{1}{2} \\
g(-0,5)=-1 \\
g(1)=5 \\
x \in [-1;5]}\)
?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 31 sty 2016, o 22:24

Dostałaś jakies rozwiązanie.
teraz rozwiąż to zadanie inaczej grupując
\(\displaystyle{ (\sin x+\sin 4x)+(\sin 3x+\sin 2x)}\)

Otrzymasz inne równanie, prostsze do rozwiązana, a przy okazji, porównując obie metody dowiesz sie ile to jest \(\displaystyle{ \sin \frac{2}{5}\pi}\)