Równanie trygonometryczne.

[Qyeal]

Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \sin ^{3}x+\cos ^{3} x=1}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{3}x-\sin ^{2}x +\cos ^{3} x-\cos ^{2}x =0 \\
\sin ^{2}x(\sin x-1)+\cos ^{2} x(\cos x-1)=0 \\
(1-\cos ^{2}x)(\sin x-1)+(1-\sin ^{2}x)(\cos x-1)=0\\
(1-\cos x)(1+\cos x)(\sin x-1)+(1-\sin x)(1+\sin x)(\cos x-1)=0 \\
(\cos x-1)(1-\sin x)(1+\cos x+1+\sin x)=0 \\
(\cos x-1)(1-\sin x)(2+\cos x+\sin x)=0}\)
no i w tym momencie się zacinam, nie wiem co zle robię, nie wiem co dalej zrobić z \(\displaystyle{ 2+\cos x+\sin x}\)

[Milczek]

Pierwszy i drugi nawias oczywiste jak wyzerowac, natomiast trzeci jaki ma zbiór wartosci?
Mówię o ostatnim iloczynie.

[Qyeal]

Nie wiem jaki ma zbiór wartości...

[Milczek]

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{ 2 }{ \sqrt{2} }\sin \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right)}\), wyciągnij wnioski teraz. Pisałem na komórce ale chyba bez błędu.

[Qyeal]

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{ 2 }{ \sqrt{2} }\sin \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right)}\)

A skądże się to wzięło?

[Milczek]

Rozwiń to korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów.
A jest to prosta tożsamość. Trik w zadaniu polega na tym że nawias nr 3 będzie zawsze dodatni.

[kropka+]

Trzeci nawias jest zawsze dodatni, bo nigdy nie zachodzi \(\displaystyle{ \sin x + \cos x =-2}\)

[Qyeal]

Już widzę, dziękuję. -- 31 sty 2016, o 20:07 --

\(\displaystyle{ \frac{ 2 }{ \sqrt{2} }\sin \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right)}\)

A mam pytanie jak określić zbiór wartości tego?

[kropka+]

Przecież sinus jest w przedziale \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\) więc to będzie przedział
\(\displaystyle{ \left[- \sqrt{2}, \sqrt{2} \right]}\)

[Qyeal]

a nie \(\displaystyle{ \left[ -\frac{ \sqrt{2} }{2}; \frac{ \sqrt{2} }{2} \right]}\)?

[Jan Kraszewski]

Nie, \(\displaystyle{ \frac{ 2 }{ \sqrt{2} }=\sqrt{2}.}\)

JK