Oblicz wyrażenie

[edytka96]

Jak zabrać się za takie coś? Totalnie nie wiem jak to liczyć. Była def. funkcji cyklometrycznych na wykładzie i nic więcej.
Oblicz.
\(\displaystyle{ \sin (\arccos \frac{1}{3})}\)

[Premislav]

Funkcja arcus cosinus jest malejąca i mamy \(\displaystyle{ 1 >\frac 1 3>0}\), więc \(\displaystyle{ \arccos \left(\frac 1 3\right)\in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), toteż \(\displaystyle{ \sin\left( \arccos \frac 1 3\right)>0}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \sin \left(\arccos \frac 1 3 \right)=\sqrt{1-\cos^{2}\left(\arccos \frac 1 3 \right)}= \sqrt{1- \frac{1}{9} }= \frac{2\sqrt{2}}{3}}\)

[edytka96]

Czy te wyniki są poprawne?

\(\displaystyle{ \cos (\arctan 2)=\frac{\sqrt{3}}{3} \\
\tg (2\arcsin \frac{3}{4})=-\frac{3\sqrt{7}}{16} \\
\cos (2\arcsin (-\frac{2}{3})=\frac{5}{9} \\
\sin (2\arcsin \frac{1}{3})=\frac{\sqrt{17}}{81}}\)

[Premislav]

Nie są. Za dużo roboty, żeby tu pisać przekształcenia, w pierwszym tożsamość \(\displaystyle{ 1+\tg^{2}\alpha= \frac{1}{\cos^{2}\alpha}}\) i rozstrzygnięcie czy ten cosinus będzie dodatni czy nie, w następnych zaś wystarcza chyba wzór na sinus i cosinus podwojonego kąta. moje odpowiedzi:

1)\(\displaystyle{ \cos \left( \arctg2 \right) = \frac{1}{\sqrt{5}}}\)

2)\(\displaystyle{ \tg \left( 2\arcsin\frac{3}{4} \right) =-3\sqrt{7}}\)

3)\(\displaystyle{ \cos \left( 2\arcsin \left( -\frac{2}{3} \right)\right) = \frac{1}{9}}\)

4)\(\displaystyle{ \sin \left( 2\arcsin\frac{1}{3} \right) = \frac{4\sqrt{2}}{9}}\)

Obliczenia sprawdzone z wolframem, bo ja nie umiem liczyć.

[edytka96]

Dziękuję, przejrzałam jeszcze raz swoje rozwiązania i udało mi się znaleźć błąd we wzorze, którego używałam.