Wyznaczanie zbioru wartości funkcji tryg.

[Qyeal]

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1-sin ^{4}x-cos ^{4}x }{1-cos ^{2}x-sin ^{6}x }}\)

Obliczyłam, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{1+sin ^{2}x}}\) i dziedzina jest równa \(\displaystyle{ R \setminus \frac{k \pi }{2}}\)
Jak określić zbiór wartości?

[Premislav]

Ja bym proponował zauważyć na wstępie, że zbiór wartości sinusa (dla argumentów rzeczywistych) to
\(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\), a stąd zbiór wartości kwadratu sinusa to \(\displaystyle{ [0,1]}\). Stąd łatwo określisz zbiór wartości mianownika, a dalej z ułamkiem łatwo - jego wartość jest większa, gdy mianownik jest mniejszy, a mniejsza, gdy mianownik jest większy, bo zarówno licznik, jaki mianownik są dodatnie.

[Qyeal]

Czyli \(\displaystyle{ Zwf: (1;2)}\)? Dlaczego przedział otwarty?

[Premislav]

Przekształcając od \(\displaystyle{ \frac{1-sin ^{4}x-cos ^{4}x }{1-cos ^{2}x-sin ^{6}x }}\)
do \(\displaystyle{ \frac{2}{1+sin ^{2}x}}\), podzieliłaś zapewne przez kwadrat sinusa licznik i mianownik (przynajmniej ja tak robiłem), no a potem jeszcze przez coś, pewnie \(\displaystyle{ 1-\sin^{2}x.}\) A to zmienia dziedzinę - ta zaś musi pozostać taka, jak dziedzina funkcji wyjściowej - mianownik się nie może zerować, toteż sinus nie może być zerem ani jedynką, ani minus jedynką.-- 26 sty 2016, o 21:01 --Swoją drogą dobrze, że to zauważyłaś, lub chociaż sprawdziłaś w odpowiedziach, bo tego nie uwzględniłem.

[Qyeal]

A mam pytanie jeszcze o taką funkcję \(\displaystyle{ f(x)=cos ^{2} \frac{x}{2}}\)
trzeba wyznaczyć zbiór wartości, dlaczego w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ <0;1>}\) a nie \(\displaystyle{ <0;2>}\)

[Premislav]

Zbiorem wartości cosinusa dla argumentów rzeczywistych jest \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\) (a więc dla kwadratu \(\displaystyle{ \left\langle 0,1\right\rangle}\)) i tyle - nieważne, czy tam będziesz mieć \(\displaystyle{ \cos\left( 24395848657\log_{2345x}x^{2}+11^{\lfloor x \rfloor !!}+50x^{x}\right)}\), czy cokolwiek innego - to wszystko wpływa tylko na to, jakie wartości są przyjmowane dla konkretnych argumentów, a nie na zbiór wartości.

-- 26 sty 2016, o 21:55 --

Ewentualnie może wpływać na dziedzinę.

-- 26 sty 2016, o 21:58 --

A sorry, bzdurę straszną napisałem - oczywiście, że może to wpływać na zbiór wartości, np.\(\displaystyle{ \cos(\sin x)}\), natomiast nie może tego zbioru wartości rozszerzyć - a jedynie ograniczyć.-- 26 sty 2016, o 22:06 --W zasadzie to chyba nie mam prostszego argumentu niż:
\(\displaystyle{ \RR \ni x \rightarrow \frac x 2}\) jest surjekcją na \(\displaystyle{ \RR}\), więc zbiór wartości \(\displaystyle{ \cos^{2}\frac x 2}\) jest taki sam, jak zbiór wartości \(\displaystyle{ cos^{2}x}\)