Zbiór wartości funkcji

[Ania221]

Trzeba znaleźć. Jakoś nie mam pomysłu.

1. \(\displaystyle{ y= \frac{\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}\)

2. \(\displaystyle{ y= \frac{\sin \alpha }{1+2\sin \alpha }}\)

[piasek101]

Może podstawić, zrobić typową wymierną w określonym przedziale.

[Ania221]

\(\displaystyle{ t=\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ y=-1- \frac{1}{t-1}}\)

\(\displaystyle{ Y=R-\left\{ -1\right\}}\)

tak?
ale jak z tego wrócić do cosinusa?
całkiem tego nie widzę.

[AndrzejK]

A nie możesz po prostu rozwiązać tego standardowo? tj. potraktować \(\displaystyle{ y}\) jako parametr i sprawdzić, dla jakich \(\displaystyle{ y}\) równanie ma rozwiązanie (wtedy należeć będą one do zbioru wartości funkcji).

1. Oczywiście \(\displaystyle{ \cos x \neq 1}\), mnożąc obustronnie przez mianownik mamy:
\(\displaystyle{ y-y \cos x=\cos x}\)
\(\displaystyle{ y=\cos x+y\cos x}\)
\(\displaystyle{ y=\cos x(1+y)}\)
\(\displaystyle{ \cos x=\frac{1}{1+y}}\)

I teraz wiemy, że \(\displaystyle{ 1 \ge \cos x \ge -1}\), ale zgodnie z tym co napisaliśmy \(\displaystyle{ \cos x \neq 1}\), więc rozwiązujemy:

\(\displaystyle{ 1 > \frac{1}{1+y} \ge -1}\), skąd dostajemy poprawny wynik \(\displaystyle{ y \in \left\langle \frac{1}{2}, \infty )}\)

[Ania221]

Edit, właściwie, to może ja robię błąd wcześniej,,,chociaż nie mam pojęcia jaki...drugi przykład to część zadania, którego treść brzmi:

Wyznacz zbiór wartości funkcji

\(\displaystyle{ y=\sin \alpha -2\sin^2 \alpha +4\sin^3 \alpha -....}\)
\(\displaystyle{ a_1=\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ q=-2\sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{a_1}{1-q} = \frac{\sin \alpha }{1+2\sin \alpha }}\)

------------------------------------------------------------
Pierwszy wyszedł.
Drugi mi nie wychodzi

\(\displaystyle{ \sin \alpha \neq - \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{\sin \alpha }{1+2\sin \alpha }}\)

\(\displaystyle{ y+2y\sin \alpha =\sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ y=\sin \alpha (1-2y)}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{y}{1-2y}}\)

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{y}{1-2y} \le 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{y}{1-2y} -1 \le 0}\)

\(\displaystyle{ y \in (- \infty ; \frac{1}{3}) \cup ( \frac{1}{2}; \infty )}\)

\(\displaystyle{ \frac{y}{1-2y} \ge -1}\)

\(\displaystyle{ y \in (- \infty ; \frac{1}{2} ) \cup (1; \infty )}\)

Część wspólna

\(\displaystyle{ y \in (- \infty ; \frac{1}{3} ) \cup (1; \infty )}\)

Punkty powinny należeć do przedzialów, ale nie mogę znaleźć, jak to zrobić.
Ale i tak wynik jest inny:
\(\displaystyle{ y \in (- \infty ; \frac{1}{4})}\)

[Zahion]

Z tego co widzę, to na pewno pominięty został warunek \(\displaystyle{ |q| <1}\)

[Ania221]

No tak...wrrr...Teraz oczywiście jest ok.
Dziękuję

[piasek101]

\(\displaystyle{ t=\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ y=-1- \frac{1}{t-1}}\)

\(\displaystyle{ Y=R-\left\{ -1\right\}}\)

tak?
ale jak z tego wrócić do cosinusa?

Nie musiałaś nigdzie wracać.

Masz typową homograficzną w przedziale \(\displaystyle{ \left <-1; 1\right)}\), można podeprzeć się wykresem.
Wynik mam inny niż podano.

[Ania221]

piasek101 wynik w pierwszym zadaniu powinien być \(\displaystyle{ y \in \left\langle -\frac{1}{2}, \infty )}\)

i tak wychodzi sposobem Andrzeja.
Natomiast Twoim sposobem, nie wiem, jak uzyskać taki wynik ?

Już wiem.
Tylko trzeba policzyć granicę.
Dzięki

[piasek101]

Nawet granicy nie trzeba - przyjmujemy, że własności homograficznej są znane (podobnie np jak kwadratowej).