Równanie z piątymi potęgami

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ 0 \leq x \leq 2\pi}\) : \(\displaystyle{ 16(\sin^5 x + \cos^5 x) = 11(\sin x + \cos x)}\) ?

[Ania221]

\(\displaystyle{ a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2-ab^3+ b^4)}\)

[Premislav]

Kontynuując: mamy
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x=0) \vee (\sin^{4}x+\cos^{4}x+\sin^{2}x\cos^{2}x-\sin^{3}x\cos x-\sin x\cos^{3}x= \frac{11}{16})}\)
Z pierwszego wychodzi \(\displaystyle{ x= \frac{3}{4}\pi \vee x= \frac{7}{4}\pi}\), a drugie można uprościć (wzory skróconego mnożenia+jedynka trygonometryczna) do \(\displaystyle{ 1-\sin^{2}x\cos^{2}x-\sin x \cos x(\sin^{2}x+\cos^{2}x)= \frac{11}{16}}\), tj.
\(\displaystyle{ \sin^{2}2x+ 2\sin 2x+ \frac{5}{4}=0}\), a to się z kolei zapisuje jako \(\displaystyle{ \left(\sin 2x+ 1 \right)^{2}+ \frac{1}{4} =0}\), co nie ma rozwiązań. Podsumowując: w \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\) jedyne rozwiązania to \(\displaystyle{ x= \frac{3}{4}\pi, x= \frac{7}{4}\pi}\)

[kerajs]

Wyrażenie można zwinąć do:
\(\displaystyle{ 4\sqrt{2}\sin \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right) \left( \sin 2x + \frac{5}{2} \right) \left( \sin 2x - \frac{1}{2} \right) =0}\)
co w zadanym przedziale daje rozwiązania:
\(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ \pi }{12} , \frac{5 \pi }{12} , \frac{ 3\pi }{4} ,\frac{ 13\pi }{12} , \frac{17 \pi }{12} , \frac{ 7\pi }{4}\right\}}\)

[Premislav]

Ech, ja to się musiałem popisać. Oczywiście nie umiem liczyć.
\(\displaystyle{ 1-\sin^{2}x\cos^{2}x-\sin x \cos x(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=\\= \frac{11}{16} \Leftrightarrow \sin^{2}x \cos^{2}x+\sin x \cos x- \frac{5}{16}=0 \Leftrightarrow (\sin 2x+1)^{2}- \frac{9}{4}=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\sin 2x-0,5)(\sin 2x+2,5)=0}\), a stąd dostajemy jeszcze
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{12}+k\pi \vee x= \frac{5}{12}\pi+k\pi, k \in \ZZ}\), czyli
w tym przedziale mamy jeszcze rozwiązania \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}, \frac{13}{12}\pi, \frac{5}{12}\pi, \frac{17}{12}\pi}\) oprócz tych, które poprzednio napisałem.
kerajs, a jak to zwinąłeś do takiej postaci? Wzór na sumę sinusów?

[kerajs]

\(\displaystyle{ 16(\sin^5 x + \cos^5 x) = 11(\sin x + \cos x)}\)
\(\displaystyle{ 16(\sin^3 x(1-\cos^2 x) + \cos^3 x(1-\sin^2 x)) = 11(\sin x + \cos x)}\)
\(\displaystyle{ 16(-\sin^2x\cos^2x(\sin x + \cos x) + \sin x(1-\cos^2 x) + \cos x(1-\sin^2 x)) = \\=11(\sin x + \cos x)}\)
\(\displaystyle{ 16(-\sin^2x\cos^2x(\sin x + \cos x) - \sin x\cos x(\sin x + \cos x)+ \sin x + \cos x) = \\=11(\sin x + \cos x)}\)
\(\displaystyle{ 0=(\sin x + \cos x)\left[ 16\sin^2x\cos^2x+16\sin x\cos x -16+11\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{2} (\sin x \frac{1}{ \sqrt{2} } + \cos x \frac{1}{ \sqrt{2} } )\right] \left[ 4\sin^2 2x+8\sin 2x -5\right] =0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin (x+ \frac{ \pi }{4} )4\left[ (\sin 2x+1)^2- \frac{9}{4} \right]=0}\)
\(\displaystyle{ 4\sqrt{2}\sin (x+ \frac{ \pi }{4} )\left[ (\sin 2x+1+ \frac{3}{2} )(\sin 2x+1- \frac{3}{2}) \right]=0}\)


Hmm, tu wyszło mi prawie trzy razy więcej linijek niż na kartce.

[Premislav]

Dzięki.