Rozwiąż równanie

[sheeze]

Kolejne równanie... ;p

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x + \sin ^{2} 2x = \sin ^{2} 3x}\)

Tak robiłam:

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x = (\sin 3x - \sin x)(\sin 3x + \sin x)}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x = 2 \cos 2x \sin x \cdot 2 \sin 2x \cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x = 2 \sin x \cos x \cdot 2 \sin 2x \cos 2x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x = \sin 2x \cdot \sin x}\)

\(\displaystyle{ \sin 2x (\sin 2x - \sin x) = 0}\)

\(\displaystyle{ \sin 2x = 0 \vee 2 \cos \frac{3}{2}x \sin \frac{1}{2}x = 0}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{k \pi}{2} \vee \cos \frac{3}{2}x = 0 \vee \sin \frac{1}{2} x = 0}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{k \pi}{2} \vee x = \frac{\pi}{3} + \frac{2}{3} k \pi \vee x = 2k \pi}\)

A rozwiązaniem ma być \(\displaystyle{ x = \frac{k \pi}{2} \vee x = \frac{\pi}{6} + k \pi \vee x = - \frac{\pi}{6} + k \pi}\), co robię źle?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x = (\sin 3x - \sin x)(\sin 3x + \sin x)}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x = 2 \cos 2x \sin x \cdot 2 \sin 2x \cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x = 2 \sin x \cos x \cdot 2 \sin 2x \cos 2x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x = \sin 2x \cdot \sin x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x = \sin 2x \cdot \sin 4 x}\)

[sheeze]

O rzeczywiście, czyli będzie:

\(\displaystyle{ \sin 2x (\sin 2x - \sin 4x) = 0}\)

Z nawiasu \(\displaystyle{ 2 \cos 3x \sin -x = 0}\)

\(\displaystyle{ \cos 3x = 0 \vee \sin -x = 0}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6 } + \frac{k \pi}{3} \vee x = -k \pi}\) i dalej coś nie tak

[kerajs]

Wszystko jest dobrze.
Zauważ że rozwiązanie
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3}}\)
można rozpisać na
\(\displaystyle{ x= \frac{-\pi}{6} + k\pi \ \vee \ x= \frac{\pi}{6} + k\pi \ \vee \x= \frac{\pi}{2} + k\pi}\)

Można też było tak:
\(\displaystyle{ \sin 2x-\sin 4x=0 \\ \sin 2x (1-2 \cos 2x)=0}\)

[sheeze]

Dzięki, nie wiem co bym zrobiła bez tej strony