Rozwiąż równanie

[sheeze]

\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{2} \sin x}\)

Próbowałam rozłożyć \(\displaystyle{ \sin x}\) na \(\displaystyle{ 2 \sin \frac{1}{2}x \cos \frac{1}{2}x}\) ale już sama nie wiem co dalej... ;/ proszę o wskazówki

[kerajs]

A może tak:
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{2} \sin x \\
\sqrt{2} \left[ \frac{1}{ \sqrt{2}} \sin \frac{x}{2} + \frac{1}{ \sqrt{2}}\cos \frac{x}{2}} \right] =
\sqrt{2} \sin x \\}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{4} \right) = \sin x \\
\sin \left( \frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{4} \right) - \sin x =0 \\
2\sin \left( \frac{\frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{4} -x}{2} \right) \cos \left( \frac{\frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{4} +x}{2} \right) =0 \\
\sin \left( -\frac{x}{4}+ \frac{ \pi }{8} \right) =0 \ \vee \ \cos \left( \frac{3x}{4}+ \frac{ \pi }{8} \right) =0}\)
Dalej potrafisz.

Twoja wersja:
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{2} \sin x \\
\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 2 \sqrt{2} \sin \frac{1}{2}x \cos \frac{1}{2}x \\
\cos \frac{x}{2} \cdot \left( 2 \sqrt{2} \sin \frac{1}{2}x -1\right) =\sin \frac{x}{2}}\)
Możesz podnieść to do kwadratu i pozbyć się kosinusa z jedynki trygonometrycznej. Za sinus przyjmij zmienna t i rozwiąż równanie wielomianowe. Każdy uzyskany wynik musisz sprawdzić gdyż przed podniesieniem do kwadratu nie były robione założenia.

[sheeze]

Dzięki wielkie:) jednak ten Twój sposób myślę, że jest lepszy