Przekształcenie równania z funkcjami trygonometrycznymi

[kapitanJajo]

Cześć,
zarejestrowałem się tutaj, bo dawno nie miałem kontaktu z matematyką, a trafiłem na problem, którego nie potrafię rozwiązać. (pomroczność)

Wyprowadziłem sobie wzór, który wygląda tak:

\(\displaystyle{ \frac{1+\sin \left( \alpha \right) }{\cos \left( \alpha \right) } = x}\)

Jak sprowadzić go do postaci, w której kalkulator (albo program komputerowy) będzie w stanie obliczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) dla dowolnego danego x? Przyjmijmy:

\(\displaystyle{ \frac{1+\sin \left( \alpha \right) }{\cos \left( \alpha \right) } = 1,26}\)
?

[Dilectus]

Podnieś obie strony do kwadratu i przyjrzyj się.

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2=x^2}\)

\(\displaystyle{ 1+2\sin \alpha+ \sin^2 \alpha=x^2\cos^2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ 1+2\sin \alpha+ \sin^2 \alpha=x^2 (1-\sin^2 \alpha)}\)

Podstaw zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=\sin \alpha}\). Dostaniesz równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t}\), które rozwiążesz z łatwością.

[kerajs]

Inaczej:
\(\displaystyle{ 1+\sin \alpha =x\cos \alpha \\ \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} } +\frac{1}{ \sqrt{1+x^2} } \sin \alpha =\frac{x}{ \sqrt{1+x^2} } \cos \alpha
\\ \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} } \sin \alpha - \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} } \cos \alpha =\frac{-1}{ \sqrt{1+x^2} } \\ \sin \left( \alpha - \arccos \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} }\right) =\frac{-1}{ \sqrt{1+x^2} } \\
\alpha - \arccos \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} }= \arcsin \left( \frac{-1}{ \sqrt{1+x^2} }
\right) +k2 \pi \ \ \vee \ \ \alpha - \arccos \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} }=\\= \pi - \arcsin \left( \frac{-1}{ \sqrt{1+x^2} }\right)+k2 \pi \ , \ \ k \in \CC \\
\alpha = \arccos \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} }+ \arcsin \left( \frac{-1}{ \sqrt{1+x^2} }
\right) +k2 \pi \ \ \vee \ \ \alpha = \arccos \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} }+\\ + \pi - \arcsin \left( \frac{-1}{ \sqrt{1+x^2} }\right)+k2 \pi \ , \ \ k \in \CC \\}\)

[kapitanJajo]

Dzięki za odpowiedzi. O to chodziło.