Czy ma ktoś pomysł jak udowodnić następujący fakt:
Jedynym ciągłym rozwiązaniem \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}}\) równania
\(\displaystyle{ f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y)}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\) jest
\(\displaystyle{ f(x) = 0}\) lub \(\displaystyle{ f(x) = \cos bx}\) dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) lub \(\displaystyle{ f(x)=\cosh bx}\) dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ b \in \mathbb{C}}\)
Domyślam się, że trzeba przejść na części rzeczywiste i urojone funkcji \(\displaystyle{ f}\) i pokazać że jakaś funkcja z tym związana spełnia te warunki, ale nie wiem jak to dokładnie zrobić. Proszę o pomoc
Funkcyjne równanie d'Alamberta
Funkcyjne równanie d'Alamberta
Ostatnio zmieniony 10 gru 2015, o 22:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
szw1710
Funkcyjne równanie d'Alamberta
\(\displaystyle{ x=y=0\implies 2f(0)=2\bigl(f(0)\bigr)^2}\), więc \(\displaystyle{ f(0)=0}\) lub \(\displaystyle{ f(0)=1}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Wstawiamy \(\displaystyle{ y=0}\) i mamy \(\displaystyle{ 2f(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) i mamy rozwiązanie zerowe.
Niech teraz \(\displaystyle{ f(0)=1}\). Kombinuj mniej więcej tak jak pokazałem powyżej. Różne podstawienia typu \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x\to 2x}\) oraz \(\displaystyle{ y\to x}\) itd. itp. Nie mówię, że te akurat są skuteczne, ale mniej więcej tak trzeba postępować. Dojść podobnie jak w równaniu Cauchy;ego do argumentów wymiernych i przejść do granicy.
Dając \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ f(y)+f(-y)=2f(y)}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją parzystą.
Dajemy \(\displaystyle{ y=x}\) dostając \(\displaystyle{ f(2x)+1=2f^2(x)}\). Teraz \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\) i mamy \(\displaystyle{ f(x)+1=2f\left(\frac{x}{2}\right)}\). Dzielimy przez \(\displaystyle{ 2}\).
Teraz trzeba to poiterować.
OK. Dalej kombinuj sama. Metody pokazałem.
Niech teraz \(\displaystyle{ f(0)=1}\). Kombinuj mniej więcej tak jak pokazałem powyżej. Różne podstawienia typu \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x\to 2x}\) oraz \(\displaystyle{ y\to x}\) itd. itp. Nie mówię, że te akurat są skuteczne, ale mniej więcej tak trzeba postępować. Dojść podobnie jak w równaniu Cauchy;ego do argumentów wymiernych i przejść do granicy.
Dając \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ f(y)+f(-y)=2f(y)}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją parzystą.
Dajemy \(\displaystyle{ y=x}\) dostając \(\displaystyle{ f(2x)+1=2f^2(x)}\). Teraz \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\) i mamy \(\displaystyle{ f(x)+1=2f\left(\frac{x}{2}\right)}\). Dzielimy przez \(\displaystyle{ 2}\).
Teraz trzeba to poiterować.
OK. Dalej kombinuj sama. Metody pokazałem.