Nierówność funkcji trygonometrycznej

[Axon96]

Czy powie mi ktoś jak rozwiązuje się takie nierówności?
\(\displaystyle{ \ctg(4x) \le \sqrt{3}}\)

[musialmi]

Mówi się: \(\displaystyle{ \sqrt 3}\) to wartość \(\displaystyle{ \ctg x}\) dla \(\displaystyle{ x=\ldots}\)

[Axon96]

Dla \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\). A dla \(\displaystyle{ 4x}\) ? I czy muszę rysować wykres żeby to rozwiązać ?

[kerajs]

Zrób podstawienie:
\(\displaystyle{ 4x=t \\
\ctg t \le \sqrt{3} \\ t \in \left\langle \frac{ \pi }{6}+k \pi , \pi +k \pi \right) , \ \ \ k \in \CC \\
4x\in \left\langle \frac{ \pi }{6}+k \pi , \pi +k \pi \right) \\
x \in \left\langle \frac{ \pi }{24}+k \frac{ \pi }{4} , \frac{ \pi }{4} +k \frac{ \pi }{4} \right) \\}\)

[musialmi]

Nie musisz. Ale warto mieć go w głowie. Pytanie jest dla jakich \(\displaystyle{ t=4x}\) kotangens jest mniejszy niż pierwiastek z 3. Wiesz dla jakiego \(\displaystyle{ t}\) mamy \(\displaystyle{ \ctg t =\sqrt 3}\), znasz monotoniczność cotangensa, to teraz możesz odpowiedzieć

[Axon96]

A jakbym chciał jednak taki wykres narysować to jak to zrobić ?

[Milczek]

Rysujesz sobie kilka wykresów funkcji \(\displaystyle{ \ctg}\) i zaznaczasz na osi \(\displaystyle{ y}\) jaka wartość Cię interesuje, rysujesz prostą\(\displaystyle{ y=m}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) to nasza docelowa wartość ( tutaj jest to \(\displaystyle{ m= \sqrt{3}}\) i generalnie masz narysowane, teraz czytasz przedziały w zależności od znaku nierówności.
Dla \(\displaystyle{ \ctg(4x)}\) wykres ten będzie bardzo...ściśnięty jeśli można to tak określić. W sensie że jak normalnie rysujesz wykres funkcji \(\displaystyle{ \ctg(x)}\) w przedziale od \(\displaystyle{ (0; \pi )}\) to wykres funkcji \(\displaystyle{ ctg(4x)}\) będzie narysowany w przedziale \(\displaystyle{ (0; \frac{ \pi }{4})}\).
Oczywiście należy też pamiętać że zmienia się okres funkcji.