Weźmy \(\displaystyle{ a=\frac{\pi}{x},b=\frac{\pi}{y}}\) - wtedy wystarczy dowieść, że dla \(\displaystyle{ a,b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\) zachodzi mocniejsza nierówność \(\displaystyle{ \cos a\cos b\le\frac{1}{1+ab}}\), bo \(\displaystyle{ \pi^2>9}\).
Mamy z C-S: \(\displaystyle{ \frac{1}{1+ab}\ge\frac{1}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}}\), tzn. wystarczy dowieść \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\ge\cos a}\) i pomnożyć przez analogiczną nierówność dla \(\displaystyle{ b}\) - obie strony są dodatnie, więc można.
Odtąd nie umiem inaczej, jak z wykorzystaniem pochodnych, więc jeszcze to ścieśnimy z AM-GM, będzie się lepiej liczyło: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\ge\frac{2}{2+a^2}}\)
Weźmy funkcję \(\displaystyle{ f(t)=\frac{2}{t^2+2}-\cos t}\). Jest ona ciągła, jako suma funkcji ciągłych. Ponadto \(\displaystyle{ f(0)=0,\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)>0}\). Dodatkowo mamy \(\displaystyle{ f'(t)=\sin t-\frac{4t}{(t^2+2)^2}}\) oraz \(\displaystyle{ f'(0)=0,\ f'\left(\frac{\pi}{2}\right)>0}\), a także \(\displaystyle{ f''(t)=\cos t+\frac{4\left(3t^2-2\right)}{(t^2+2)^3}}\). Jeżeli w badanym przedziale dowiedziemy dodatniości drugiej pochodnej, to będzie oznaczać, że pierwsza pochodna rośnie od zera, a więc również jest dodatnia, czyli nasza funkcja \(\displaystyle{ f(t)}\) jest dodatnia (bo również monotonicznie rosnąca od zera). W przedziale \(\displaystyle{ \left(1,\frac{\pi}{2}\right)}\) jest oczywiste, że \(\displaystyle{ f''(t)>0}\). W przedziale \(\displaystyle{ (0,1]}\) skorzystamy z nierówności \(\displaystyle{ \cos t\ge 1-\frac{t^2}{2}}\), którą można otrzymać z wykorzystaniem (dowodzonej geometrycznie) nierówności \(\displaystyle{ \sin u\le u,\ u=\frac{t}{2}}\) i mamy:
