Równanie trygonometryczne

[musialmi]

Spojrzeć na to poniżej i stwierdzić, że podobne do tego powyżej
\(\displaystyle{ \sin(5x)=\sin(-\pi+4k\pi) \cdot \cos(-\frac{\pi}{4}+k\pi)+\sin(-\frac{\pi}{4}+k\pi)\cdot \cos(-\pi+4k\pi)}\)
Tylko ostrożnie!

EJ! Sorry, to jest źle. Przecież wzór na sumę sinusów nie wygląda tak :/ Podałem ci kilka postów wcześniej rozpoczęcie tego wzoru przecież. O tu: \(\displaystyle{ \sin (5x)=\sin (4x+x)=\sin(4x) \cdot \cos x + \ldots}\)
Sorry za nieuwagę.

[Frynio]

\(\displaystyle{ \sin \left( 5x \right) =\sin \left( -\pi \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) +\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( -\pi \right)}\)

To będzie tak, w takim razie?

[musialmi]

Kurde, co ja. Tamto było dobrze. To nowe nie jest dobrze. Zauważ, że tam, gdzie wpisałeś 6 razy pod rząd "sinus x", zawsze dodawaliśmy parzystą ilość liczb pi.

[Frynio]

Czyli które w sumie jest dobrze?

[musialmi]

To: \(\displaystyle{ \sin(5x)=\sin(-\pi+4k\pi) \cdot \cos(-\frac{\pi}{4}+k\pi)+\sin(-\frac{\pi}{4}+k\pi)\cdot \cos(-\pi+4k\pi)}\). Trzeba tu coś uprościć teraz, na podstawie okresowości.

[Frynio]

\(\displaystyle{ \sin(-\pi+4k\pi)=\sin(-\pi)}\) - tak można zamienić?
\(\displaystyle{ \cos(-\frac{\pi}{4}+k\pi)=\cos(\frac{\pi}{4})}\) - albo tak?

[musialmi]

To pierwsze można, bo okres to \(\displaystyle{ 2\pi}\), więc jego wielokrotność to też okres (tylko nie podstawowy).
A tego drugiego nie można, bo \(\displaystyle{ k \pi}\) to nie okres.

[Frynio]

Czyli co mogę z tym zrobić?

[musialmi]

Co masz:
\(\displaystyle{ \sin(5x)=\sin(-\pi+4k\pi) \cdot \cos(-\frac{\pi}{4}+k\pi)+\sin(-\frac{\pi}{4}+k\pi)\cdot \cos(-\pi+4k\pi)=\sin(-\pi)\cdot \cos(-\frac{\pi}{4}+k\pi)+\sin(-\frac{\pi}{4}+k\pi)\cdot \cos(-\pi)}\)

Możesz coś zredukować.

[Frynio]

No tak. Mam dokładnie to samo. I co teraz?

\(\displaystyle{ \sin(-\pi)=0}\), a \(\displaystyle{ \cos(-\pi)=-1}\), więc zostaje, że \(\displaystyle{ \sin(5x)=-\sin(-\frac{\pi}{4}+k\pi)}\), tak?

[musialmi]

No dokładnie. Teraz przykombinuj wzorami redukcyjnymi (minus sprzed sinusa włącz pod sinusa - zachowując reguły).

[Frynio]

Czyli \(\displaystyle{ \sin(5x)=\sin(-(-\frac{\pi}{4}+k\pi))}\)

\(\displaystyle{ \sin(5x)=\sin(\frac{\pi}{4}-k\pi)}\)

I teraz co?

[musialmi]

Tak. Teraz minusa możesz zamienić na plusa bez żadnych konsekwencji, bo \(\displaystyle{ k}\) może być dodatnie lub ujemne. No i teraz powiedz jakie wartości może przyjmować \(\displaystyle{ \sin(\frac{\pi}{4} \pm k\pi)}\) dla różnych \(\displaystyle{ k}\)

[Frynio]

Czyli, nareszcie, rozwiązanie zadania to:

\(\displaystyle{ \sin(5x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \vee -\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

[musialmi]

Dokładnie. Zadanie tego nie wymaga, ale można powiedzieć dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) jest jakie rozwiązanie.
A tak rozwiązań nie zapisuj, bo z obu stron znaczka \(\displaystyle{ \vee}\) powinny być zdania, a "\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt 2}{2}}\)" nie jest zdaniem.