Równanie trygonometryczne

[Frynio]

Wyznacz wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ \sin (5x)}\), gdy:

\(\displaystyle{ \sin (\pi-4x)=\cos (6x)}\)

Zupełnie nie wiem jak to ugryźć. Wiadomo, że \(\displaystyle{ \sin (\pi-4x)=\sin (4x)}\), ale co dalej...

[musialmi]

I jeszcze wiadomo, że \(\displaystyle{ \sin (4x) = \cos \left(4x-\frac \pi 2\right)}\).

[Frynio]

Tak, to też wiem. Ale jak z tego skorzystać?

[musialmi]

I jeszcze wiadomo kiedy cosinusy są sobie równe.

[Frynio]

No to mam tak:

\(\displaystyle{ 4x-\frac{\pi}{2}=6x \\
x=-\frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ -4x+\frac{\pi}{2}=6x \\
x=-\frac{\pi}{20}}\)

\(\displaystyle{ 4x-\frac{\pi}{2}=-6x \\
x=\frac{\pi}{20}}\)

\(\displaystyle{ -4x+\frac{\pi}{2}=-6x \\
x=-\frac{\pi}{4}}\)

I co mi to daje? WolframAlpha daje w 5 rozwiązań, a nie 4

[musialmi]

Przeczytaj sobie treść zadania, to będziesz wiedział co ci to daje. Rozwiązań jest nieskończona ilość i najlepiej nie pisać ich w czterech różnych sposobach, tylko w jednej formułce: \(\displaystyle{ 4x-\frac{\pi}{2}=6x+2k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitych (przynajmniej według mnie tak jest najlepiej).

[Frynio]

Z tego by wychodziło, że: \(\displaystyle{ x=\mp(k\pi+\frac{\pi}{4})}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \sin (5x)=\mp\bigl(5\pi(k+\frac{1}{4})\bigr)}\)?

[musialmi]

\(\displaystyle{ x=-\frac \pi 4 + k \pi}\), po prostu. \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite (czyli może być ujemne), więc czasem lecimy w lewo, czasem w prawo.

Ale ten sinus jest zepsuty Podpowiem, że on przyjmuje tylko dwie możliwe wartości. Proponuję szukać go tym wzorem: \(\displaystyle{ \sin (5x)=\sin (4x+x)=\sin(4x) \cdot \cos x + \ldots}\)

[Frynio]

Tak, tak. Też o tym pomyślałem. To wygląda tak?:

\(\displaystyle{ \sin \left( 5x \right) =\sin \left( -\pi+4k\pi \right) \cdot \cos \left( -\frac{\pi}{4}+k\pi \right) +\sin \left( -\frac{\pi}{4}+k\pi \right) \cdot \cos \left( -\pi+4k\pi \right)}\)

[musialmi]

Dokładnie tak. No i teraz to dokończyć...

[Frynio]

Kurde, próbuję właśnie. No, ale nic. W sensie co mogę tu jeszcze zrobić? Wyciągać 4, czy coś takiego?

\(\displaystyle{ \sin (-\pi+4k\pi)=-\sin (4k\pi) \\
\cos (-\pi+4k\pi)=-\cos (4k\pi)}\)

Tylko to zamieniłem, ale nie wiem co dalej

[musialmi]

Jesteś pewien, że to jest dobrze napisane?
Zamiast robić takie rzeczy, ja polecam skorzystać z okresowości, takiej prawdziwej.

[Frynio]

Możliwe, że nie, sorki. Zaraz sprawdzę

Nie rozumiem. W sensie, że jak?

[musialmi]

Rozwiąż to:
\(\displaystyle{ \sin (x+2\pi) = ? \\
\sin (x+4\pi) = ? \\
\sin (x+6\pi) = ? \\
\sin (x+2k\pi) = ? \\
\sin (x+4k\pi) = ? \\}\)

[Frynio]

\(\displaystyle{ \sin (x+2\pi) = \sin x \\ \sin (x+4\pi) = \sin x \\ \sin (x+6\pi) = \sin x \\ \sin (x+2k\pi) = \sin x \\ \sin (x+4k\pi) = \sin x \\}\)

I co mogę teraz zrobić?