Sprawdź dla jakich x spełniona jest nierówność.

keffik · Post autor: **keffik** » 18 lis 2015, o 23:50

\(\displaystyle{ \ \arcsin x=\arctan \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 18 lis 2015, o 23:58

Najpierw zastanów się nad dziedziną.
Potem możesz zauważyć, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) należącego do dziedziny możesz położyć \(\displaystyle{ x=\sin t}\), weźmy np. \(\displaystyle{ t\in \left(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)}\). Dla jakich \(\displaystyle{ t}\) z tego przedziału zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt{1-\sin^{2}t}=\cos t}\)??-- 19 lis 2015, o 00:00 --podpowiedź: kiedy cosinus jest dodatni? (tutaj będzie...).

keffik · Post autor: **keffik** » 19 lis 2015, o 00:14

Nie bardzo rozumiem, skąd pojawiło się to ostatnie równanie ?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 lis 2015, o 00:23

A jak wygląda prawa strona, gdy podstawisz \(\displaystyle{ x=\sin t}\)? Dostajesz \(\displaystyle{ \arctan \left( \frac{\sin t}{ \sqrt{1-\sin^{2}t} } \right)}\) (oczywiście przyjmuję, że nad dziedizną już się zastanowiłeś).

Zupełnie inne podejście byłoby takie, żeby zdefiniować sobie np. funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arcsin x-\arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})}\) dla \(\displaystyle{ x\in (-1,1)}\), policzyć jej pochodną i sprawdzić, że np. dla \(\displaystyle{ x=0}\) przyjmuje ona (tj. \(\displaystyle{ f}\), a nie jej pochodna, chociaż to też :>) wartość \(\displaystyle{ 0}\). Ale to brzydkie.

keffik · Post autor: **keffik** » 19 lis 2015, o 00:27

Z tą pochodną tak zrobiłem i wyszła mi 0, tylko nie wiem jakie z tego wnioski wyciągnąć, oprócz takich, że dla x=0 jest spełniona ;/

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 lis 2015, o 00:29

Skoro pochodna jest równa \(\displaystyle{ 0}\), a dziedzina funkcji jest przedziałem (chodzi o to, ze nie ma żadnych "dziur"), to jaka jest ta funkcja w swojej dziedzinie?

W takim razie wystarczy, że policzysz jej wartość w jednym punkcie.

keffik · Post autor: **keffik** » 19 lis 2015, o 00:40

Ciągła, ale nie jest powiedziane,że różnowartościowa( jeżeli do tego bijesz), (chyba że jest, i mi powiesz dlaczego )

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 lis 2015, o 00:52

Mógłbym do tego pić (co zresztą dziś uskuteczniałem), ale nie bić (dobra, czepiam się, powinienem iść spać).

Tak, niewątpliwie jest to funkcja ciągła (inaczej by się nie dała różniczkować), ale nie o to mi chodziło. Nie jest za to różnowartościowa. Co to znaczy, że funkcja ma pochodną równą na jakimś przedziale \(\displaystyle{ 0}\)?

keffik · Post autor: **keffik** » 19 lis 2015, o 00:58

Dobra mój błąd, ale od rana jestem na nogach
No, że jest stała.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 lis 2015, o 01:06

Zgadza się.

keffik · Post autor: **keffik** » 19 lis 2015, o 01:08

Czyli, że wystarczy dla jednego argumentu x=0 i innego nie będzie w dziedzinie ?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 lis 2015, o 01:15

Mylisz, obawiam się, dziedzinę ze zbiorem wartości (ale może to kwestia późnej pory).
Funkcja jest stała, więc wystarczy nam, że poznamy jej wartość w jednym punkcie. Podałem zero jako argument, żeby się łatwo liczyło.

Aha, tylko nie zawsze jest tak, że z tego, iż dla każdego \(\displaystyle{ x}\) należącego do dziedziny zachodzi \(\displaystyle{ f'(x)=0}\), wynika stałość funkcji. Np. jeżeli rozpatrzymy \(\displaystyle{ f(x)=sgn x}\) na \(\displaystyle{ \RR\setminus \left\{0\right\}}\), to w każdym punkcie tak określonej dziedziny (wywaliłem zero, choć funkcja signum jest tam określona) będzie ona różniczkowalna i jej pochodna wszędzie będzie \(\displaystyle{ 0}\), a tak jakoś stała to ona być nie chce (dla dodatnich \(\displaystyle{ 1}\), dla ujemnych \(\displaystyle{ -1}\)).-- 19 lis 2015, o 01:17 --Ale "u Ciebie" dziedzina to przedział, więc nie ma tego problemu.