Równania trygonometryczne

[leviatan]

Witam
Kilka zadanek z którymi mam problem:
1. Funkcja y=sin2x +cosΠx
a)jest okresowa
b)ma ograniczony zbiór wartości
c)przyjmuje tylko wartości dodatnie
2.Funkcja y=sin2x+sin3x
a)jest okresowa
b)ma zbiór wartości zawarty w przedziale (-5,5)
c)ma nieskończenie wiele miejsc zerowych
3.Wyznacz wszystkie liczby całkowite n, dla których 2sinNx = tgx + cosx ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych x.

Dzięki za każdą pomoc i wskazówke.

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ y=sin2x+cos\pi x=sin2x+sin(\frac{\pi}{2}-\pi x)=2sin(\frac{2x+\frac{\pi}{2}-\pi x}{2})\cdot cos(\frac{2x-\frac{\pi}{2}+\pi x}{2})=2sin\left( x(1-\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{4}\right)cos\left( x(1+\frac{\pi}{2})-\frac{\pi}{4}\right)}\)
a) jest - zarowno sin jak i cos sa okresowe, wiec ich iloczny rowniez taki bedzie
b) ma ograniczony zbior, sin i cos - \(\displaystyle{ }\) a ich iloczyn podwojony bedzie mial wiec \(\displaystyle{ Y=}\)
c)nie tylko. wystarczy podstawic sin=-1 oraz cos=1, wtedy \(\displaystyle{ y=-2}\) co jest wartoscia ujemna

POZDRO

[leviatan]

Nie rozumię skąd wzieło się takie równanie... mógłbys mi to wyjaśnić?

[sztuczne zęby]

soku11, wykorzystał po prostu wzór na sumę sinusów.
\(\displaystyle{ sinx + siny= 2sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}}\),
a wcześniej użył jeszcze wzoru redukcyjnego.

[Lorek]

ma ograniczony zbior, sin i cos - a ich iloczyn podwojony bedzie mial wiec \(\displaystyle{ Y=}\)

A to akurat nie jest prawdą, ale byłeś blisko, wystarczy skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ \sin [g(x)]\in [-1;1]}\) i podobnie cosinus, niezależnie od tego, jaką funkcja jest \(\displaystyle{ g(x)}\)

[soku11]

ma ograniczony zbior, sin i cos - a ich iloczyn podwojony bedzie mial wiec \(\displaystyle{ Y=}\)

A to akurat nie jest prawdą, ale byłeś blisko, wystarczy skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ \sin [g(x)]\in [-1;1]}\) i podobnie cosinus, niezależnie od tego, jaką funkcja jest \(\displaystyle{ g(x)}\)

Hehe nie wiem co zle napisalem ale mi o to chodzilo Funkcja g(x) odpowiada za 'scislanie' badz 'rozszerzanie' sinusoidy badz cosinusoidy oraz za przesuniecie POZDRO

[Lorek]

Chodzi o to, że z faktu \(\displaystyle{ \sin g(x)\in [-1;1],\; \cos h(x)\in [-1;1]}\) nie wynika \(\displaystyle{ \sin g(x)\cdot\cos h(x)\in [-1;1]}\), a wg tego, co napisałeś to tak jest.

[soku11]

A czemu nie wynika?? Wystarczy rozwazyc, ze:
\(\displaystyle{ sin=1\ \ cos=1\ \ sin\cdot cos=1\\
sin=-1\ \ cos=1\ \ sin\cdot cos=-1\\
sin=\frac{1}{2}\ \ cos=1\ \ sin\cdot cos=\frac{1}{2}\\
...}\)

itd...

Cos zle rozumuje?? Jak dla mnie zawsze bedzie w tych granicach??? POZDRO

[Lorek]

A taki przykład 1 z brzegu:
\(\displaystyle{ \sin x\in [-1;1],\; \cos x\in [-1;1],\; \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\in ...}\)
A co do naszego przykładu:
\(\displaystyle{ \sin 2x+\cos \pi x=2\iff\begin{cases}\sin 2x=1\\\cos\pi x=1\end{cases}}\)
Rozwiązaniem pierwszego jest seria liczb niewymiernych, drugiego seria liczb wymiernych, więc częścią wspólną jest ... .

[soku11]

No rzeczywiscie Nie wzialem tego pod uwage Sory za wprowadzenie w blad. POZDRO

[leviatan]

a co z innymi zadaniami?