Przekształcenia z sumami

[ms7]

Czy to jest dobrze?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( (\sin(\pi n)+\cos(\pi n)-1) \sin(n x) + \frac{\cos(\pi n)}{n} \right)=}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (\sin(\pi n)+\cos(\pi n)-1) \sin(n x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(\pi n)}{n}=}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}-2\sin(\left( 2n-1\right) x)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}=}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -2\sin((2n-1)x)+ \frac{(-1)^n}{n}\right)}\)

[Kartezjusz]

Co badasz

[ms7]

to fragment zadania z szeregów Fouriera, chciałem tylko spytać czy te przekształcenia są poprawne.

[Kartezjusz]

Wyjaśnij mi przejście z linii drugiej do trzeciej-pierwszą sumę

[ms7]

No więc sinusa pomijam bo dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) jest równy zero. Później zauważam, że cosinus dla n parzystych jest rowny 1, a dla nieparzystych -1. Gdy cosinus jest rowny jeden suma jest 0, wiec posumujmy tylko po indeksach nieparzystych, stad ta zmiana w sinusie. Mam nadzieję że w miarę jasno nakreśliłem o co mi chodziło.

[Kartezjusz]

To nie widzę zastrzeżeń