udowodnić, jeżeli ...

[qwerty1]

Udowodnić:
Jeżeli \(\displaystyle{ x, y > 0}\) i \(\displaystyle{ x+y = \frac{\pi}{4}}\), to
\(\displaystyle{ (1-\cot x)(1-\cot y)=2}\)

Proszę o szczegółowe rozwiązanie

[Anathemed]

Podam Ci szkic. Jak nie zrozumiesz, to opiszę to rozwiązanie dokładniej i w texie

1) Zamieniasz cotangensy na ilorazy cosinusów i sinusów: ctgx = cosx/sinx
2) Mnożysz obustronnie przez sinx*siny
3) Wymnażasz wszystko przez wszystko, redukujesz wyrazy podobne.
4) Dostajesz równanie: -(sinx*cosy + cosxsiny) = sinxsiny - cosxcosy
5) Korzystasz ze wzoru na sumę sinusów i sumę cosinusów, dostajesz:
6) -sin(x+y) = -cos(x+y)
7) Masz tezę

[Lorek]

Anathemed, Twój szkic nie jest do końca poprawny, bo korzystasz w nim z tezy, co oczywiście nie powinno mieć miejsca.

[Anathemed]

Poniekąd tak, zrobiłem pewien skrót myślowy.
W moim bowiem szkicu pomiędzy każdymi dwoma punktami zachodzi równoważność, tak więc aby formalnie udowodnić nasze twierdzenie wystarczy wyjść od równości \(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4})}\) i iść "od końca" korzystając z założeń po to, aby dojść do naszej tezy.

[Lorek]

Noo, tak to można, z tym że nie można zapomnieć, by o tym napisać

[JHN]

Jeżeli \(\displaystyle{ x, y > 0}\) i \(\displaystyle{ x+y = \frac{\pi}{4}}\), to
\(\displaystyle{ \cot(x+y) =\cot{ \frac{\pi}{4}}}\)
Ze znanych faktów mamy
\(\displaystyle{ \frac{\cot{x}\cot{y}-1}{\cot{x}+\cot{y}}=1}\)
co (po nieskomplikowanych przekształceniach) jest równoważne
\(\displaystyle{ (1-\cot x)(1-\cot y)=2}\)

Pozdrawiam

PS. Piszmy "w texu", bo nie mówimy "w techie"!