Wyprowadzenie wzorów

[borowek]

\(\displaystyle{ 1.\ \sin \frac{a}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2.\ \cos \frac{a}{2}}\)

\(\displaystyle{ 3.\ \sin (270 ^\circ + a) \\
\cos (270 ^\circ + a) \\
\tg (270 ^\circ + a) \\
\ctg (270 ^\circ + a)}\)

Proszę o jakieś wskazówki, od czego zacząć dwa pierwsze; w 3 z rysunku wychodzą mi własności dla innego kąta.

[SlotaWoj]

1. i 2.

Rozwiń:

• \(\displaystyle{ \sin\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\right)}\)

i

• \(\displaystyle{ \cos\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\right)}\)

[borowek]

1. \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right) = \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} \sin \frac{a}{2} = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}}\)

2. \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right) = \cos \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} - \sin \frac{a}{2} \sin \frac{a}{2} = \cos ^{2} \frac{a}{2} - \sin ^{2} \frac{a}{2}}\)

[SlotaWoj]

Miało być \(\displaystyle{ \left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\right)}\).

Podstaw \(\displaystyle{ x=\sin\frac{a}{2}}\) i \(\displaystyle{ y=\cos\frac{a}{2}}\), z lewej strony pozostaw \(\displaystyle{ \sin\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\right)=\sin a}\) oraz \(\displaystyle{ ...\ =\cos a}\) i rozwiąż otrzymany układ równań.

[borowek]

\(\displaystyle{ \sin ( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} ) = \sin (x+y) = \sin a}\)

\(\displaystyle{ \cos (x+y) = \cos a}\)

\(\displaystyle{ x+y = a}\)

[SlotaWoj]

Podstaw \(\displaystyle{ x=\sin\frac{a}{2}}\) i \(\displaystyle{ y=\cos\frac{a}{2}}\)

[borowek]

\(\displaystyle{ 1.\ x \cdot y + y \cdot x = \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ 2.\ y ^{2} - x ^{2} = \cos \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \cdot y + y \cdot x = \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right) \\ y ^{2} = \cos \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right) + x ^{2} \end{cases}\\
y ^{2} = \cos \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right) + x ^{2} \\
y = \sqrt{\cos \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right) + x ^{2} } \\
2 \cdot x \cdot \sqrt{\cos \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right) + x ^{2} } = \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right)}\)

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \sin\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\right)=\sin a}\) oraz \(\displaystyle{ ...\ =\cos a}\)

[borowek]

\(\displaystyle{ y = \sqrt{\cos a + x ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot x \cdot \sqrt{\cos a + x ^{2} } = \sin a}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = \sqrt{\cos a + x ^{2} } \\ x = \frac{\sin a}{2 \cdot \sqrt{\cos a + x ^{2} } } \end{cases}}\)

[SlotaWoj]

Rozwiąż ten układ równań:

• \(\displaystyle{ \begin{cases}
  \ 2xy=\sin a \\
  \ y^2-x^2=\cos a
  \end{cases}}\)

Dodatkowo wiadomo, że:

• \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)

[borowek]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 \cdot x \cdot y = \sin a \\ y ^{2} - x ^{2} = \cos a \\ x ^{2} + y ^{2} = 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} = 1 - y ^{2} \Rightarrow x = \sqrt{1 - y ^{2} } \\ 1 - y ^{2} + y ^{2} = \cos a \Rightarrow \cos a = 1 \\ 2 \cdot \sqrt{1 - y ^{2} } \cdot y = \sin a \end{cases}}\)

[SlotaWoj]

Nie!

• \(\displaystyle{ \begin{cases} \ 2xy=\sin a \\ \ y^2-x^2=\cos a \end{cases}}\)

• \(\displaystyle{ x^2+y^2=1\ \Rightarrow\ x^2=1-y^2}\)

Podstawiamy do drugiego równania.

• \(\displaystyle{ y^2-(1-y^2)=2y^2-1=\cos\alpha}\)

• \(\displaystyle{ y^2=\frac{1+\cos\alpha}{2}}\)

• \(\displaystyle{ \big|\,y\,\big|=\left|\,\cos\frac{\alpha}{2}\,\right|=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}}\)

\(\displaystyle{ x=\sin\frac{\alpha}{2}}\) oblicz sam.

Jak okazuje się, pierwsze równanie nie jest do niczego potrzebne i można się obyć bez niego.

Edit:
––––––
To co zaznaczyłem powyżej nie do końca jest prawdą, jak słusznie zauważył A4karo w następnym poście.

[a4karo]

Jak okazuje się, pierwsze równanie nie jest do niczego potrzebne i można się obyć bez niego.

Może jednak nie? Daje jakąś wskazówkę co do znaków \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)!

[borowek]

\(\displaystyle{ y ^{2} = 1-x ^{2} \\
-2x ^{2} = \cos a - 1 \\
x ^{2} = \frac{\cos a - 1}{-2} \\
\left| x\right| = \left| \sin a\right| = \sqrt{ \frac{1-\cos a}{2} }}\)