Sinus z podwojonego arcus sinusa.

[majkinek]

Jak rozwiązać?
\(\displaystyle{ \sin (2\arcsin x)=}\)

[wujomaro]

Znasz wzór na sinus podwojonego argumentu?
Pozdrawiam!

[majkinek]

Doszedłem do \(\displaystyle{ 2x \cdot \sqrt{1-\sin ^{2} }(\arcsin x)}\)

[Yelon]

Całe wyrażenie \(\displaystyle{ 1 - \sin ^{2}\left( \arcsin(x)\right)}\) powinno być pod pierwiastkiem. I wtedy odpowiedź to: \(\displaystyle{ 2x \sqrt{1 - x ^{2}}}\).

[majkinek]

Inny przykład. \(\displaystyle{ \sin (\arccos \frac{1}{x})= \sqrt{\left( 1-\cos ^2x\right)\left( \arccos \frac{1}{x} \right) }= \sqrt{1- \frac{1}{x^2} }}\)
Poprawnie?

[Yelon]

Tak.

[a4karo]

???? A cóż ma znaczyć to wyrażenie w środku???
\(\displaystyle{ \sin (\arccos \frac{1}{x})=\red { \sqrt{\left( 1-\cos ^2x\right)\left( \arccos \frac{1}{x} \right) }}= \sqrt{1- \frac{1}{x^2} }}\)
Nie ma ono sie nijak do lewej, ani tym bardziej do prawej strony

[majkinek]

Dlatego pytałem. Proszę o wytłumaczenie.

[Yelon]

\(\displaystyle{ \sqrt{1 - \frac{1}{x ^{2}} } = \sqrt{ 1-\cos ^{2}\left( \arccos \left( \frac{1}{x} \right) \right) }= \sqrt{\sin ^{2}\left( \arccos\left( \frac{1}{x} \right) \right) }=\left| \sin\left( \arcsin\left( \frac{1}{x} \right) \right) \right|= \sin\left( \arcsin\left( \frac{1}{x} \right) \right)}\)

Ostatnia równość wynika z faktu, że wyrażenie \(\displaystyle{ f(x) = \sin\left( \arcsin\left( \frac{1}{x} \right) \right)}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 0 \le f(x) \le 1}\)

[a4karo]

Ostatnia równość wynika z faktu, że wyrażenie \(\displaystyle{ f(x) = \sin\left( \arcsin\left( \frac{1}{x} \right) \right)}\)przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 0 \le f(x) \le 1}\)

Czyżby? Wylicz to dla \(\displaystyle{ x=-2}\).

Generalnie równośc jest prawdziwa na pewnym podzbiorze dziedziny lewej strony (która nota bene warto było wyznaczyć przed wykonaniem jakichkolwiek rachunków.

Zwróćcie uwagę na drobną subtelność: trzy posty temu pojawiło się nie wiadomo skąd \(\displaystyle{ (1-\cos^2 x)}\)

[Yelon]

Tę subtelność z początku potraktowałem jako omyłkowo postawiony nawias (zamiast napisać \(\displaystyle{ \sqrt{ 1-\cos ^{2}\left( \arccos \left( \frac{1}{x} \right) \right)}}\) zostało napisane \(\displaystyle{ \sqrt{\left( 1-\cos ^{2}\right) \left( \arccos \left( \frac{1}{x} \right) \right)}}\)), choć w sumie tak czy tak chyba trzeba było zareagować. Nie zauważyłem tego \(\displaystyle{ x}\) przy cosinusie, który to już faktycznie całkowicie namieszał. Co do dziedziny, kolejne przoczenie z mojej strony - oczywiście rozpatrujemy \(\displaystyle{ x \in \left[ 0, 1\right]}\). Przepraszam za nieuwagę.

[a4karo]

Trzeba zauważyć, że dla \(\displaystyle{ x<0}\) nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \sin x=\sqrt{1-\cos^2x}}\).