Równania trygonometryczne

[studentkaagh]

\(\displaystyle{ \frac{4}{\cos ^{2}x} - \frac{3}{\sin 2x} - 2 = 0}\)

Wychodzi mi wynik \(\displaystyle{ \ctg x = \frac{4}{3}}\)

Co dalej?

[Mathix]

\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{4}{3}=\frac{\cos x}{\sin x} \\ \cos^2 x+\sin^2 x=1 \end {cases}}\)

Masz taki układ równań do rozwiązania.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \frac{4}{\cos ^{2}x} - \frac{3}{\sin 2x} - 2 = 0}\)

Wychodzi mi wynik \(\displaystyle{ \ctg x = \frac{4}{3}}\)

Jakim cudem? Pokaż obliczenia.

[studentkaagh]

Pomnożyłam przez \(\displaystyle{ - \cos ^{2} x}\) ale rozumiem że nie wolno mi było.

[Dilectus]

No to pomnóżmy:

\(\displaystyle{ \cos^2x \cdot \frac{4}{\cos ^{2}x} -\cos^2x \cdot \frac{3}{\sin2x} - 2 \cdot \cos^2x = 0}\)

\(\displaystyle{ 4- \frac{3\cos x}{2\sin x} -2\cos^2x=0}\)

\(\displaystyle{ 4- \frac{3}{2}\ctg x -2\cos^2 x=0}\)

Jak widać, nie wychodzi to, co wyliczyłaś. -- 2 lis 2015, o 22:27 --Zrób tak:

Weź równanie

\(\displaystyle{ 4- \frac{3\cos x}{2\sin x} -2\cos^2x=0}\)

i przedstaw w nim wszystkie funkcje trygonometryczne jako tangens połówki kąta. Dostaniesz równanie wymierne zmiennej pomocniczej \(\displaystyle{ t=\tg \frac{1}{2} x}\)

Odwagi!

P.S.:

\(\displaystyle{ \sin x=\frac{2 \mbox{tg}\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}}\)

\(\displaystyle{ \cos x=\frac{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{tg} x=\frac{2\mbox{tg}\frac{x}{2}}{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}}\)

[studentkaagh]

Dziękuję za dodanie odwagi

Rozumiem juz metodę. Musiałam się gdzieś pomylić w przekształceniach. Mam takie pytanie : Czy dało by się dalej rozwiązać to równanie jedynie przy pomocy podstawowych funkcji trygonometryczne ? Bez wzorów na połówkę kąta tangensa?

[Dilectus]

Nie mam na to sensownego pomysłu. Można próbować graficznie. Popatrzmy na równanie:

\(\displaystyle{ 4- \frac{3}{2}\ctg x -2\cos^2 x=0}\)

i napiszmy je tak:

\(\displaystyle{ 4 -2\cos^2 x=\frac{3}{2}\ctg x}\)

Teraz rysujemy funkcje

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{3}{2}\ctg x}\)

\(\displaystyle{ g(x)=4-2\cos^2x}\)

I patrzymy, gdzie się wykresy przecinają.

Spróbuj to narysować w programie Graph . Ustaw na osi x jednostki będące wielokrotnościami \(\displaystyle{ \pi}\)

[studentkaagh]

Ok dziękuję

[a4karo]

\(\displaystyle{ \frac{4}{\cos ^{2}x} - \frac{3}{\sin 2x} - 2 = 0}\)
\(\displaystyle{ 4-\frac{3}{2\sin x}-2\cos^2x=0}\)
\(\displaystyle{ 2+\frac{3}{2\sin x}+2-2\cos^2x=0}\)
\(\displaystyle{ 2-\frac{3}{2\sin x}+2\sin^2x=0}\)
\(\displaystyle{ 4\sin^3x+4\sin x-3=0}\)

To równanie nie ma "porządnych" rozwiązań. Przybliżone to \(\displaystyle{ \sin x=.5673}\)