Funkcja odwrotna do cosinusa na zadanym przedziale

[juri]

Witam.
Mam problem z zadaniem:
Przedstawić funkcję odwrotną do \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\cos \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right)}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle \frac{ \pi }{2} , \frac{3 \pi }{2} \right\rangle}\) za pomocą funkcji \(\displaystyle{ \arccos x}\)
Zrobiłem rysunek w geogebrze i wyszło mi, że funkcja odwrotna ma postać: \(\displaystyle{ f ^{-1} \left( x \right) =-\arccos \left( x \right) + \frac{3 \pi }{2}}\)
Niestety, nie wiem jak to zapisać za pomocą przekształceń. To do czego udało mi się dojść jest o \(\displaystyle{ \pi}\) za nisko. Co zrobiłem:
\(\displaystyle{ \cos \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) =y, x+ \frac{ \pi }{2} \in \left\langle \pi ,2 \pi \right\rangle}\) Więc muszę cofnąć argument cosinusa o \(\displaystyle{ \pi}\) żeby móc policzyć funkcję odwrotną, bo \(\displaystyle{ \arccos \left( x \right)}\) ma zbiór wartości od \(\displaystyle{ \left\langle 0, \pi \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \cos \left( x+ \frac{ \pi }{2} \right) =\cos \left( x+\frac{ \pi }{2} - \pi \right) =-\cos \left( \frac{ \pi }{2} -x \right) =-y}\)
\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{ \pi }{2} -x \right) =y}\)
\(\displaystyle{ \arccos \left( y \right) = \frac{ \pi }{2} -x}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} -\arccos \left( y \right)}\)
\(\displaystyle{ f^{-1} \left( x \right) = \frac{ \pi }{2} -\arccos \left( x \right)}\)
Proszę o pomoc.

[kropka+]

\(\displaystyle{ ( \cos x+ \frac{ \pi }{2}) =\cos ( x+\frac{ \pi }{2} - \pi ) =-\cos ( \frac{ \pi }{2} -x)=-y}\)

To jest źle, więc dalej też.
Dla ułatwienia oznaczmy \(\displaystyle{ t=x+ \frac{ \pi }{2}}\)
Wtedy mamy
\(\displaystyle{ \cos (t- \pi )=cos( \pi -t)=-\cos t \Rightarrow \cos t=-\cos (t- \pi )}\)
Po przejściu na \(\displaystyle{ x}\) mamy
\(\displaystyle{ \cos \left( x+ \frac{ \pi }{2}\right) =-\cos \left( x+ \frac{ \pi }{2}- \pi\right) =-\cos \left( x- \frac{ \pi }{2} \right)=y}\)
Czyli
\(\displaystyle{ y=-\cos \left( x- \frac{ \pi }{2} \right) \\
\cos \left( x- \frac{ \pi }{2} \right)=-y\\
x- \frac{ \pi }{2}=\arccos (-y)\\
x= \frac{ \pi }{2}+\arccos (-y)}\)
Zamieniamy zmienne i mamy
\(\displaystyle{ y= \frac{ \pi }{2}+\arccos (-x)}\)
Korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ \arccos (-x)= \pi -\arccos x}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ y= \frac{ \pi }{2}+ \pi -\arccos x= \frac{3}{2}\pi - \arccos x}\)