Dziedzina i przeciwdziedzina

[Darek12234]

Tak jak w temacie.

\(\displaystyle{ f(x)=\arcsin \frac{2x}{1+x}}\)

Dziedzine mam \(\displaystyle{ \left\langle -\frac13,1\right\rangle}\)

Przeciwdziedziną będzie: \(\displaystyle{ \left[ - \frac{ \pi }{2} , \frac{\pi}{2} \right]}\) ???
Jeśli nie to jak ją obliczyć ?

[jutrvy]

Tak, ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, więc ma własność Darboux, na końcach przedziałów przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), więc przyjmuje wszystkie pośrednie.

Co więcej, jeśli \(\displaystyle{ g(x) = \frac{2x}{1+x}}\), to wtedy

\(\displaystyle{ g'(x) = \frac{2}{(1+x)^2}}\), zatem \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją ściśle rosnącą, a \(\displaystyle{ g\left(-\frac{1}{3}\right) = -1}\), oraz \(\displaystyle{ g(1) = 1}\).

To znaczy, że przeciwdziedziną będzie zbiór \(\displaystyle{ \lbrace \arcsin(x): x\in[-1,1]\rbrace = \left[ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]}\)

Pozdrawiam

[Darek12234]

Dziękuje.

jutrvy,

Jest jakiś łatwy sposób na obliczanie przeciwdziedziny ?

Czyli nieważne co będzie po arcsin to i tak przeciwdziedzina sie nie zmieni ?

[jutrvy]

Ważne! Rozumiem, że przeciwdziedzinę rozumiesz, jako zbiór \(\displaystyle{ \lbrace f(x): x\in D\rbrace}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) to dziedzina. To są "wszystkie możliwe wartości funkcji" \(\displaystyle{ f}\). Chodzi po prostu o to, że my mamy do czynienia ze złożeniem funkcji, dlatego badałem \(\displaystyle{ g}\), żeby wiedzieć, jak zachowuje się argument \(\displaystyle{ \arcsin}\), żeby móc określić wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ f}\) dla \(\displaystyle{ g(x)}\). Ok?

[Darek12234]

Dziękuję. Chyba tak.