rozwiąż równanie

[Mariusz123]

Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ cos^{2}x}\) + \(\displaystyle{ cos^{3}x}\)+ \(\displaystyle{ cos^{4}x}\) + ... = \(\displaystyle{ cosx + 1}\)

Proszę o rozwiązanie tego równania krok po kroku

[natkoza]

zauważ, że po lewej stronie masz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ cosx}\) oblicz jego sumę i podstaw do tego równania.... sprawa o wiele bardziej się uprości

[Mariusz123]

niestety nie wiem jak to się robi, dlatego będę bardzo wdzięczny jeżeli ktoś to rozwiąże krok po kroku

[setch]

\(\displaystyle{ q=cosx\\
|q|}\)

[Mariusz123]

czyli

\(\displaystyle{ cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x ( \frac{\pi}{4} + 2k\pi}) (\frac{7}{4}\pi}+2k\pi})}\)

\(\displaystyle{ cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x ( \frac{3}{4} + 2k\pi}) (\frac{5}{4}\pi}+2k\pi})}\)

czyli te wszystkie x należą do dziedziny tak ?

dobrze zrobiłem ?

[jovante]

trochę zapis rozwiązań szwankuje

\(\displaystyle{ cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x ( \frac{\pi}{4} + 2k\pi}) (\frac{7}{4}\pi}+2k\pi})}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi} \quad \quad x=\frac{7}{4}\pi}+2k\pi}}\) \(\displaystyle{ \quad dla \quad k \mathbb{Z}}\)

\(\displaystyle{ cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x ( \frac{3}{4} + 2k\pi}) (\frac{5}{4}\pi}+2k\pi})}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{3}{4}\pi + 2k\pi} \quad \quad x=\frac{5}{4}\pi}+2k\pi}}\) \(\displaystyle{ \quad dla \quad k \mathbb{Z}}\)

czyli te wszystkie x należą do dziedziny tak ?

tak

ogólnie rozwiązanie: \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}}\) \(\displaystyle{ \quad dla \quad k \mathbb{Z}}\)

[Mariusz123]

\(\displaystyle{ k \mathbb{Z}}\)

co oznacza \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) ?

[natkoza]

\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) w zapisie akademickim oznacza liczby całkowite

[setch]

natkoza, dokladniej zbior liczb calkowitych [=