zadanie z danym tangensem kąta

[loitzl9006]

Jak myślicie, czy na maturze podstawowej wg nowych zasad może pojawić się zadania tego typu:

wiedząc, że \(\displaystyle{ \tg\alpha=2}\) oraz \(\displaystyle{ 0^o<\alpha<90^o}\), oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{2+\cos\alpha}}\)

bo jeśli dany byłby \(\displaystyle{ \sin}\) bądź \(\displaystyle{ \cos}\) to wiadomo że może się pojawic a jak jest \(\displaystyle{ \tg}\) dany ?

wiem że można podzielić licznik i mianownik przez cosinusa i przejść na tangensy ale to nie jest za sprytne jak na podstawę ?

[Majeskas]

Jak najbardziej może się pojawić. Patrz zadanie 14. z tego arkusza: ... _PP_A1.pdf. Do rozwiązania Twojego zadania nie potrzeba żadnego sprytu. Wystarczy umieć obliczyć wszystkie funkcje trygonometryczne ustalonego kąta, mając daną wartość jednej z nich, a to jak najbardziej mieści się w wymogach matury podstawowej.
A Twój sposób "przejścia na tangensy" nie zadziała, bo w mianowniku zostanie \(\displaystyle{ \frac{2}{\cos \alpha}}\).

[loitzl9006]

racja, rzeczywiście nie zadziała ten mój sposób

dzięki za link, pozdrawiam

[piasek101]

Zgodnie z wymaganiami ,,znając wartości jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego." (oprócz cotangensa)

Czyli być nie powinno - ale jak widać pod linkiem sami sobie przeczą (zresztą nie tylko tym).

[Majeskas]

Z ciekawości zapytałem o tę kwestię nauczyciela matematyki (i egzaminatora). Odpowiedział, że faktycznie z podpunktu 5), który zacytowałeś, nie wynika możliwość pojawienia się takiego zadania, ale przyzwala na to podpunkt 4) - "stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi".

Bardziej mnie zaintrygowało co innego. W części poświęconej rozszerzeniu podpunkt 6) mówi, że "uczeń rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu […]". Pada kilka przykładów, w tym \(\displaystyle{ \sin2x+\cos x=1}\).

To równanie można rozwiązać, podstawiając \(\displaystyle{ \sin x=t,\ \cos x=\pm\sqrt{1-t^2}}\). Dochodzi się wtedy do równania trzeciego stopnia, o którym Wolfram mówi, że jego rozwiązaniem jest liczba
\(\displaystyle{ t=\frac{\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}-2}6}\).

Ostatecznie otrzymujemy

\(\displaystyle{ x_1=2k\pi,\quad x_2=\arcsin\frac{\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}-2}6+2k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).

Całkiem ambitnie.

[piasek101]

Tam jest literówka - to wg nich miał być sinus do kwadratu.

Co do punktu (4) trygonometryczne - to podaje on konkretne (dwie) ,,proste zależności", więc nie pozwala on na przekształcenia tangensa.

Cytat (cały punkt 4; a nie kawałek jaki podajesz) - ,,4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi : (tu jedynka trygonometryczna), oraz (tu sinus konkretnej różnicy kątów)"

[Majeskas]

Tam jest literówka - to wg nich miał być sinus do kwadratu.

Nie wątpię, że miało być inaczej. Podałem to jako ciekawostkę.

Co do punktu (4) trygonometryczne - to podaje on konkretne (dwie) ,,proste zależności", więc nie pozwala on na przekształcenia tangensa.

Cytat (cały punkt 4; a nie kawałek jaki podajesz) - ,,4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi : (tu jedynka trygonometryczna), oraz (tu sinus konkretnej różnicy kątów)"

Skoro już wchodzimy w szczegóły, to ja bym się tu nie zgodził. Jedynka trygonometryczna i związek tangensa z pozostałymi funkcjami to wystarczające wiadomości, żeby rozwiązać zadanie podane przez loitzl9006 czy to, które wskazałem, z przykładowego arkusza CKE.
Nie mówiąc już o tym, że takie zadania można rozwiązać, nie znając żadnych związków między funkcjami, a posługując się jedynie definicjami funkcji trygonometrycznych. Tak że właściwie wystarczy punkt 1).

[piasek101]

I właśnie związku tangensa z pozostałymi nie ma; a powinien być wg mnie.

Rozwiązanie za pomocą definicji ok. zgadzam się.

Punkt (5) wyraźnie wskazuje kiedy uczeń ma umieć wyznaczać wartości pozostałych funkcji - i na to zwróciłem uwagę.

[edit]Dla mnie całe wymagania są niedopracowane.

[Majeskas]

Nie bardzo rozumiem, co masz na myśli, pisząc o braku związku tangensa z pozostałymi funkcjami. Czy wzór \(\displaystyle{ \tan \alpha=\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\) nie jest w pełni zadowalającym związkiem?

Zgadzam się, że podpunkt 5) jest w obecnej wersji mylący. Moim zdaniem powinien brzmieć: "[…] znając wartość jednej z funkcji, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego". Wyszczególnienie sinusa i cosinusa sugeruje, że wyznaczanie nie dotyczy sytuacji z tangensem. Powiedziałem zresztą o tym znajomemu nauczycielowi i też się z tym zgodził.
Mnie też te wymagania nie całkiem przekonują. Ale przynajmniej można mieć na ich podstawie zgrubne wyobrażenie o różnicy między materiałem podstawowym a rozszerzonym. Nie można mieć natomiast wyobrażenia, czym się różni matura podstawowa od rozszerzonej, ale w sumie chyba nie temu mają służyć wymagania. Jeśli ktoś np. myśli o maturze rozszerzonej, to powinien przede wszystkim patrzeć na zadania.

[piasek101]

My znamy wzór - ale wymagania o nim nic nie wspominają.

Nauczyciele - z rozpędu - uczą wielu rzeczy, których nie ma w wymaganiach.
Dla jasności - w ogólności to nie jest zarzut. Co do szczegółów - nie rozmywajmy wątku.

Zgadzamy się (tak mi się wydaje) co do tego, że wymagania powinny być bardziej dopracowane.

[Majeskas]

My znamy wzór - ale wymagania o nim nic nie wspominają.

... niknr4.pdf
str. 177

[piasek101]

Ale numer, musiała być jakaś errata - bo jak ja kopiowałem to były tylko dwa wzory (mam pdfa chyba z 2012 lub 2013) te o których pisałem.

,,4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi : (tu jedynka trygonometryczna), oraz (tu sinus konkretnej różnicy kątów)"

I właśnie związku tangensa z pozostałymi nie ma; a powinien być wg mnie.

A to dobrze kombinowałem.