zadanie z danym tangensem kąta
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
zadanie z danym tangensem kąta
Jak myślicie, czy na maturze podstawowej wg nowych zasad może pojawić się zadania tego typu:
wiedząc, że \(\displaystyle{ \tg\alpha=2}\) oraz \(\displaystyle{ 0^o<\alpha<90^o}\), oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{2+\cos\alpha}}\)
bo jeśli dany byłby \(\displaystyle{ \sin}\) bądź \(\displaystyle{ \cos}\) to wiadomo że może się pojawic a jak jest \(\displaystyle{ \tg}\) dany ?
wiem że można podzielić licznik i mianownik przez cosinusa i przejść na tangensy ale to nie jest za sprytne jak na podstawę ?
wiedząc, że \(\displaystyle{ \tg\alpha=2}\) oraz \(\displaystyle{ 0^o<\alpha<90^o}\), oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{2+\cos\alpha}}\)
bo jeśli dany byłby \(\displaystyle{ \sin}\) bądź \(\displaystyle{ \cos}\) to wiadomo że może się pojawic a jak jest \(\displaystyle{ \tg}\) dany ?
wiem że można podzielić licznik i mianownik przez cosinusa i przejść na tangensy ale to nie jest za sprytne jak na podstawę ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
zadanie z danym tangensem kąta
Jak najbardziej może się pojawić. Patrz zadanie 14. z tego arkusza: ... _PP_A1.pdf. Do rozwiązania Twojego zadania nie potrzeba żadnego sprytu. Wystarczy umieć obliczyć wszystkie funkcje trygonometryczne ustalonego kąta, mając daną wartość jednej z nich, a to jak najbardziej mieści się w wymogach matury podstawowej.
A Twój sposób "przejścia na tangensy" nie zadziała, bo w mianowniku zostanie \(\displaystyle{ \frac{2}{\cos \alpha}}\).
A Twój sposób "przejścia na tangensy" nie zadziała, bo w mianowniku zostanie \(\displaystyle{ \frac{2}{\cos \alpha}}\).
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
zadanie z danym tangensem kąta
racja, rzeczywiście nie zadziała ten mój sposób
dzięki za link, pozdrawiam
dzięki za link, pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
zadanie z danym tangensem kąta
Zgodnie z wymaganiami ,,znając wartości jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego." (oprócz cotangensa)
Czyli być nie powinno - ale jak widać pod linkiem sami sobie przeczą (zresztą nie tylko tym).
Czyli być nie powinno - ale jak widać pod linkiem sami sobie przeczą (zresztą nie tylko tym).
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
zadanie z danym tangensem kąta
Z ciekawości zapytałem o tę kwestię nauczyciela matematyki (i egzaminatora). Odpowiedział, że faktycznie z podpunktu 5), który zacytowałeś, nie wynika możliwość pojawienia się takiego zadania, ale przyzwala na to podpunkt 4) - "stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi".
Bardziej mnie zaintrygowało co innego. W części poświęconej rozszerzeniu podpunkt 6) mówi, że "uczeń rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu […]". Pada kilka przykładów, w tym \(\displaystyle{ \sin2x+\cos x=1}\).
To równanie można rozwiązać, podstawiając \(\displaystyle{ \sin x=t,\ \cos x=\pm\sqrt{1-t^2}}\). Dochodzi się wtedy do równania trzeciego stopnia, o którym Wolfram mówi, że jego rozwiązaniem jest liczba
\(\displaystyle{ t=\frac{\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}-2}6}\).
Ostatecznie otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_1=2k\pi,\quad x_2=\arcsin\frac{\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}-2}6+2k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).
Całkiem ambitnie.
Bardziej mnie zaintrygowało co innego. W części poświęconej rozszerzeniu podpunkt 6) mówi, że "uczeń rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu […]". Pada kilka przykładów, w tym \(\displaystyle{ \sin2x+\cos x=1}\).
To równanie można rozwiązać, podstawiając \(\displaystyle{ \sin x=t,\ \cos x=\pm\sqrt{1-t^2}}\). Dochodzi się wtedy do równania trzeciego stopnia, o którym Wolfram mówi, że jego rozwiązaniem jest liczba
\(\displaystyle{ t=\frac{\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}-2}6}\).
Ostatecznie otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_1=2k\pi,\quad x_2=\arcsin\frac{\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}-2}6+2k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).
Całkiem ambitnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
zadanie z danym tangensem kąta
Tam jest literówka - to wg nich miał być sinus do kwadratu.
Co do punktu (4) trygonometryczne - to podaje on konkretne (dwie) ,,proste zależności", więc nie pozwala on na przekształcenia tangensa.
Cytat (cały punkt 4; a nie kawałek jaki podajesz) - ,,4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi : (tu jedynka trygonometryczna), oraz (tu sinus konkretnej różnicy kątów)"
Co do punktu (4) trygonometryczne - to podaje on konkretne (dwie) ,,proste zależności", więc nie pozwala on na przekształcenia tangensa.
Cytat (cały punkt 4; a nie kawałek jaki podajesz) - ,,4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi : (tu jedynka trygonometryczna), oraz (tu sinus konkretnej różnicy kątów)"
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
zadanie z danym tangensem kąta
Nie wątpię, że miało być inaczej. Podałem to jako ciekawostkę.piasek101 pisze:Tam jest literówka - to wg nich miał być sinus do kwadratu.
Skoro już wchodzimy w szczegóły, to ja bym się tu nie zgodził. Jedynka trygonometryczna i związek tangensa z pozostałymi funkcjami to wystarczające wiadomości, żeby rozwiązać zadanie podane przez loitzl9006 czy to, które wskazałem, z przykładowego arkusza CKE.Co do punktu (4) trygonometryczne - to podaje on konkretne (dwie) ,,proste zależności", więc nie pozwala on na przekształcenia tangensa.
Cytat (cały punkt 4; a nie kawałek jaki podajesz) - ,,4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi : (tu jedynka trygonometryczna), oraz (tu sinus konkretnej różnicy kątów)"
Nie mówiąc już o tym, że takie zadania można rozwiązać, nie znając żadnych związków między funkcjami, a posługując się jedynie definicjami funkcji trygonometrycznych. Tak że właściwie wystarczy punkt 1).
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
zadanie z danym tangensem kąta
I właśnie związku tangensa z pozostałymi nie ma; a powinien być wg mnie.
Rozwiązanie za pomocą definicji ok. zgadzam się.
Punkt (5) wyraźnie wskazuje kiedy uczeń ma umieć wyznaczać wartości pozostałych funkcji - i na to zwróciłem uwagę.
[edit]Dla mnie całe wymagania są niedopracowane.
Rozwiązanie za pomocą definicji ok. zgadzam się.
Punkt (5) wyraźnie wskazuje kiedy uczeń ma umieć wyznaczać wartości pozostałych funkcji - i na to zwróciłem uwagę.
[edit]Dla mnie całe wymagania są niedopracowane.
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
zadanie z danym tangensem kąta
Nie bardzo rozumiem, co masz na myśli, pisząc o braku związku tangensa z pozostałymi funkcjami. Czy wzór \(\displaystyle{ \tan \alpha=\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\) nie jest w pełni zadowalającym związkiem?
Zgadzam się, że podpunkt 5) jest w obecnej wersji mylący. Moim zdaniem powinien brzmieć: "[…] znając wartość jednej z funkcji, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego". Wyszczególnienie sinusa i cosinusa sugeruje, że wyznaczanie nie dotyczy sytuacji z tangensem. Powiedziałem zresztą o tym znajomemu nauczycielowi i też się z tym zgodził.
Mnie też te wymagania nie całkiem przekonują. Ale przynajmniej można mieć na ich podstawie zgrubne wyobrażenie o różnicy między materiałem podstawowym a rozszerzonym. Nie można mieć natomiast wyobrażenia, czym się różni matura podstawowa od rozszerzonej, ale w sumie chyba nie temu mają służyć wymagania. Jeśli ktoś np. myśli o maturze rozszerzonej, to powinien przede wszystkim patrzeć na zadania.
Zgadzam się, że podpunkt 5) jest w obecnej wersji mylący. Moim zdaniem powinien brzmieć: "[…] znając wartość jednej z funkcji, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego". Wyszczególnienie sinusa i cosinusa sugeruje, że wyznaczanie nie dotyczy sytuacji z tangensem. Powiedziałem zresztą o tym znajomemu nauczycielowi i też się z tym zgodził.
Mnie też te wymagania nie całkiem przekonują. Ale przynajmniej można mieć na ich podstawie zgrubne wyobrażenie o różnicy między materiałem podstawowym a rozszerzonym. Nie można mieć natomiast wyobrażenia, czym się różni matura podstawowa od rozszerzonej, ale w sumie chyba nie temu mają służyć wymagania. Jeśli ktoś np. myśli o maturze rozszerzonej, to powinien przede wszystkim patrzeć na zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
zadanie z danym tangensem kąta
My znamy wzór - ale wymagania o nim nic nie wspominają.
Nauczyciele - z rozpędu - uczą wielu rzeczy, których nie ma w wymaganiach.
Dla jasności - w ogólności to nie jest zarzut. Co do szczegółów - nie rozmywajmy wątku.
Zgadzamy się (tak mi się wydaje) co do tego, że wymagania powinny być bardziej dopracowane.
Nauczyciele - z rozpędu - uczą wielu rzeczy, których nie ma w wymaganiach.
Dla jasności - w ogólności to nie jest zarzut. Co do szczegółów - nie rozmywajmy wątku.
Zgadzamy się (tak mi się wydaje) co do tego, że wymagania powinny być bardziej dopracowane.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
zadanie z danym tangensem kąta
Ale numer, musiała być jakaś errata - bo jak ja kopiowałem to były tylko dwa wzory (mam pdfa chyba z 2012 lub 2013) te o których pisałem.
piasek101 pisze:,,4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi : (tu jedynka trygonometryczna), oraz (tu sinus konkretnej różnicy kątów)"
A to dobrze kombinowałem.piasek101 pisze:I właśnie związku tangensa z pozostałymi nie ma; a powinien być wg mnie.