Sumy tangensów

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ x_j = \tg^2 \left( \frac{j \pi}{2n+1} \right)}\) dla \(\displaystyle{ j=1, ..., n}\). Ile to jest \(\displaystyle{ \frac{x_1+...+x_n}{x_1...x_n}}\) ?

[Emce1]

Oznaczmy \(\displaystyle{ f_{k} \left( x \right) = x^{2}- \left( \tan \frac{k \pi }{2n+1} \right) ^{2}}\) wtedy
\(\displaystyle{ \prod_{1}^{n} f_{k} \left( x \right) = \prod_{1}^{n} x^{2}- \left( \tan \frac{k \pi }{2n+1} \right) ^{2} = \prod_{1}^{n} \left( x-\tan \frac{k \pi }{2n+1} \right) \left( x+\tan \frac{k \pi }{2n+1} \right) = \prod_{1}^{n} \left( x-\tan \frac{k \pi }{2n+1} \right) \left( x- \tan \frac{ \left( 2n+1-k \right) \pi }{2n+1} \right) = \prod_{1}^{2n} \left( x-\tan \frac{k \pi }{2n+1} \right)}\)
Jeżeli zatem \(\displaystyle{ F \left( x \right) = x \prod_{1}^{n} \left( x^{2}- \left( \tan \frac{k \pi }{2n+1} \right) ^{2} \right)}\), to
\(\displaystyle{ F \left( x \right) = \prod_{1}^{2n+1} \left( x-\tan \frac{k \pi }{2n+1} \right)}\)
Rozpatrzmy teraz wielomian \(\displaystyle{ W \left( x \right)}\) zmiennej rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) określony następująco
\(\displaystyle{ W \left( x \right) = -Im \left( \left( ix+1 \right) ^{2n+1} \right)}\)
\(\displaystyle{ W \left( x_{k} \right) = -Im \left( \left( \frac{\cos \frac{k \pi }{2n+1} + i \sin \frac{k \pi }{2n+1} }{\cos \frac{k \pi }{2n+1}} \right) ^{2n+1} \right) = -Im \left( \frac{\cos k \pi + i \sin k \pi }{ \left( \cos \frac{k \pi }{2n+1} \right) ^{2n+1} } \right) = 0}\) dla \(\displaystyle{ k = 1,2,...,2n+1}\)
Wielomiany rzeczywiste W i F są równego stopnia, \(\displaystyle{ 2n+1}\), oraz mają równy współczynnik przy najw. potędze równy jedności. Z tego wynika, że \(\displaystyle{ W \left( x \right) =F \left( x \right)}\)
Aby znaleźć iloraz z zadania najpierw obliczamy sumę - wystarczy wziąć współczynnik przy \(\displaystyle{ 1+ \left( 2n-2 \right) = 2n-1}\) potędze, równy \(\displaystyle{ {2n+1 \choose 2n-1}}\), oraz iloczyn, równy współczynnikowi przy pierwszej potędze, który jest równy \(\displaystyle{ 2n+1}\). Zatem szukany iloraz jest równy \(\displaystyle{ \frac{n \left( 2n+1 \right) }{2n+1} = n}\)