Dziedzina funkcji

[boski_login]

Wyznacz zbiór wartości dla następujących funkcji:

1. \(\displaystyle{ f(x) = (\sin x +\cos x )^2 - \sin 2x}\)

Tutaj po podniesieniu nawiasu do kwadratu wszystko bardzo ładnie się redukuje i zostaje:

\(\displaystyle{ f(x) =1}\)

2. \(\displaystyle{ f(x) =8\sin ^2 x \cos ^2 x +3}\)
Przeksztalcam to do postaci:

\(\displaystyle{ f(x) = 2 \sin^2 2x +3}\)

Gdyby nie było tam kwadratu to zbiorem wartości byłby przedział \(\displaystyle{ [1,5]}\). Co zmienia podniesienie sinusa do kwadratu ?

3. \(\displaystyle{ f(x) = \sin^4 x - \cos^4 x -1}\)

Tu w ogóle nie mam pomysłu.

4.\(\displaystyle{ f(x) = \sin x \tg x - \cos x \tg x}\)

Czy mogę sobie to uprościć do wyrażenia:

\(\displaystyle{ f(x) = \cos x - \sin x}\) ?

Zbiór wartości to w takim razie przedział \(\displaystyle{ [-2,2]}\) ?

[karolex123]

2. Zauważ, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ 0 \le \sin ^{2}x \le 1}\).

[NogaWeza]

2.

Co zmienia podniesienie sinusa do kwadratu ?

\(\displaystyle{ 0 \le \sin^2{2x} \le 1}\)

3. \(\displaystyle{ \sin^4 x - \cos^4 x}\) możesz rozpisać ze wzoru \(\displaystyle{ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}\)


4. Nie. \(\displaystyle{ (\cos x - \sin x) \not \in [-2,2]}\)
\(\displaystyle{ \cos x - \sin x = \sqrt{2} \left (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos{x} - \sin{x}\frac{\sqrt{2}}{2} \right ) = \sqrt{2} \left ( \sin{\frac{\pi}{4}} \cos{x} \right - \sin{x} \cos{\frac{\pi}{4}})}\)

[Stokrota]

Przykład 4.
Wychodzi mi że \(\displaystyle{ ZW=\left\langle - \sqrt{2} , \sqrt{2}\right\rangle}\)
A w rozwiązaniu książkowym z tego przedziału wyrzucone są wartości \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
Dlaczego?

[Jan Kraszewski]

Przykład 4.
Wychodzi mi że \(\displaystyle{ ZW=\left\langle - \sqrt{2} , \sqrt{2}\right\rangle}\)

A w jaki sposób tak Ci wychodzi?

JK

[SlotaWoj]

...
4.\(\displaystyle{ f(x) = \sin x \tg x - \cos x \tg x}\)

Czy mogę sobie to uprościć do wyrażenia:

\(\displaystyle{ f(x) = \cos x - \sin x}\) ?

Nie możesz. Podstaw \(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}}\)

Przykład 4.
Wychodzi mi że \(\displaystyle{ ZW=\left\langle-\sqrt{2},\sqrt{2}\right\rangle}\)
A w rozwiązaniu książkowym z tego przedziału wyrzucone są wartości \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
Dlaczego ?

Hmmm. Czyżby Boski_Login pomyliła się przepisując temat tego przykładu ?

[Stokrota]

Boski login chyba faktycznie się pomyliła przy przepisywaniu. U mnie jest tak:
\(\displaystyle{ f(x) = \sin x \ctg x - \cos x \tg x}\)

Doszłam do tego co Noga Weza czyli

\(\displaystyle{ \sqrt{2} \left ( \sin {\frac{\pi}{4}} \cos {x} \right - \sin {x} \cos {\frac{\pi}{4}})}\)
potem zastosowałam wzór na sinus różnicy kątów i zwinęłam do postaci:

\(\displaystyle{ \sqrt{2}\left( \sin {{\frac{\pi}{4}}-x})}\) a dalej:

dla \(\displaystyle{ \sin x}\)
\(\displaystyle{ ZW =\left\langle -1,1\right\rangle}\)

czyli dla mojego wyrażenia
\(\displaystyle{ ZW=\left\langle-\sqrt{2},\sqrt{2}\right\rangle}\)
gdzie błąd? Skąd wynika wyrzucenie \(\displaystyle{ -1 i 1}\) ?

Myślałam z początku, że wynika do z dziedziny pierwotnej wersji wyrażenia,

bo \(\displaystyle{ \tg x}\) i \(\displaystyle{ \ctg x}\) mają w przecież asymptoty pionowe w kątach dla których \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\) przyjmują konkretne wartości. Ale wtedy musiałoby wylecieć również \(\displaystyle{ O}\).

[kropka+]

Powinno być

\(\displaystyle{ \sqrt{2} \sin{{\left( \frac{\pi}{4}}-x\right) }}\)

Wyrzucenie \(\displaystyle{ \pm 1}\) wynika z dziedziny tangensa i cotangensa, czyli \(\displaystyle{ x \neq k \frac{ \pi }{2}}\), natomiast np. \(\displaystyle{ f\left( \frac{ \pi }{4} \right)=0}\), więc dlaczego zero ma też być wyrzucone?

[Stokrota]

No faktycznie. Ja nie wiem czemu przyrównywałam do nieprzesuniętej funkcji i dlatego mi tak głupio wyszło.
A ze wzorem też masz rację. Słabo sobie radzę z LaTex-em i dlatego mi nawias w złym miejscu się otwarł, a ja nie zauważyłam.
Dzięki za oświecenie.