Równanie trygonometryczne 2

[boski_login]

Do równania:

\(\displaystyle{ \tg x + \ctg x =2}\)

Zastosowałam wzór:

\(\displaystyle{ \tg x + \ctg x= \frac{2}{\sin 2x}}\)

I potem to już z górki:

\(\displaystyle{ \sin 2x =0}\)

Czy takie uproszczenie jest ok ?
I teraz jeszcze jedno równanie, co do którego mam wątpliwości.

\(\displaystyle{ 2 \sin ^2 \frac{x}{2} + \sin x =0}\)

\(\displaystyle{ 1- \cos x + \sin x =0}\)

\(\displaystyle{ 1+\sin x = \ cos x}\)

Podnoszę stronami do kwadratu.

\(\displaystyle{ \sin^2 x + \sin x =0}\)

I dalej to już prosto. Tylko czy tak jest ok.

[Medea 2]

Raczej \(\displaystyle{ \sin 2x = 1}\) w pierwszym. W drugim możesz przyjąć, że \(\displaystyle{ x = 2a}\). Wtedy równanie przepisuje się do

\(\displaystyle{ 2 \sin a \cos a + 2 \sin a \sin a = 0}\),

zatem \(\displaystyle{ \sin a = 0}\) lub \(\displaystyle{ \sin a + \cos a = 0}\), co ma miejsce dokładnie wtedy, kiedy \(\displaystyle{ (\sin a + \cos a)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a = 1 + \sin x = 0}\). Zauważ, że nie można podnosić dowolnej równości do kwadratu. Przykładowo, \(\displaystyle{ 1 \neq -1}\), ale \(\displaystyle{ 1^2 = (-1)^2}\).

[boski_login]

Tak, w pierwszym się pomyliłam.
A w drugim rzeczywiście bezsensu było to podnoszenie do kwadratu.

Rozwiązania do drugiego:

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} = k \pi}\)

lub

\(\displaystyle{ \frac{x}{2}=- \frac{ \pi }{4} + k \pi}\)

[piasek101]

Rozwiązania do drugiego:

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} = k \pi}\)

lub

\(\displaystyle{ \frac{x}{2}=- \frac{ \pi }{4} + k \pi}\)

Nie.

[NogaWeza]

Przekształcamy:
\(\displaystyle{ 1 + \sin{x} = \cos{x} \\
\cos{x} - \sin{x} = 1}\)
\(\displaystyle{ 1 = \cos{x} - \sin{x} = \sqrt{2}\sin{ \left( \frac{\pi}{4} - x\right )} \longleftarrow}\) potrafisz wyjaśnić dlaczego?