Rownania trygonometryczne

[boski_login]

Witam,

Odswiezam sobie wiadomości z liceum. Rozwiązuje dział z zadaniami z trygonometrii właśnie. Problem sprawiło mi kilka nieelementarych równań.

1. \(\displaystyle{ 2\tg x +3\ctg x+5=0}\)
Przeksztalciłam to równanie do postaci:
\(\displaystyle{ 2\sin ^2 x +3\cos ^2 x +5\sin x\cos x =0}\)
Niestety niewiele mi to daje.

2. Podobnie z drugim równaniem:
\(\displaystyle{ \ctg ^2 x - 3\tg ^2 x =2}\)
Po przekształceniu:
\(\displaystyle{ 2\cos ^2 x -6\sin ^2 x -2\sin x\cos x=0}\)
Potem korzystam ze wzoru na jedynkę trygonometryczną:
\(\displaystyle{ 5\cos ^2 x -3=0}\)
Nie podoba mi się ten wynik, więc wiem napewno, że coś tu jest nie tak.

Proszę o rady.
Pozdrawiam
Patrycja

[mortan517]

Podstaw \(\displaystyle{ \ctg x = \frac{1}{\tg x}}\)

[boski_login]

Tak, przy takim podstawieniu chyba zdecydowanie łatwiej.
W pierwszym przypadku otrzymuję równanie kwadratowe . Liczę delte i niestety jedno z rozwiązań wychodzi \(\displaystyle{ - \frac{3}{2}}\).

\(\displaystyle{ 2 t^2 +5t +3 =0}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ t _{1}=-1 \\
t _{2}= -1,5}\)
Tak jest poprawnie ?

[mortan517]

Jest w porządku i teraz wracasz z podstawieniem.

[boski_login]

Tak, tylko że ja nie wiem ile to jest:

\(\displaystyle{ \tg x = - \frac{3}{2}}\)

W drugim podpunkcie otrzymuję równanie 4. stopnia po zastosowaniu Twojego podstawienia. Wyniki wychodzą bardzo ładne. Właściwie tylko jedno rozwiązanie jest poprawne, mianowicie: \(\displaystyle{ t= \frac{1}{3}}\).

[mortan517]

Jeżeli nie ma żadnej ładnej wartości to:
\(\displaystyle{ \tg x = - \frac{3}{2} \Rightarrow x=\arctg\left( - \frac{3}{2}\right)}\)

Drugie jest ok, co dalej?

[boski_login]

Dalej w drugim:

\(\displaystyle{ \tg x = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\) i \(\displaystyle{ \tg x =- \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

Takie wartości tangens przyjmuje odpowiednio dla \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6} +k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= - \frac{ \pi }{6}+ k \pi}\)
Gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0, -1,1,-2,2,...\right\}}\)

A co z tym pierwszym równaniem ?
Jak mam wykorzystać \(\displaystyle{ x=\arctg\left( - \frac{3}{2}\right)}\)?

[mortan517]

To jest pełne rozwiązanie. Jeżeli mamy jakiś argument tangensa, dla którego nie wychodzą "ładne" liczby to odpowiedź uzyskujemy poprzez funkcję odwrotną.

Równanie: \(\displaystyle{ \tg x = - \frac{3}{2}}\)
Rozwiązanie tego równania \(\displaystyle{ x=\arctg\left( - \frac{3}{2}\right)}\)

[boski_login]

Rozumiem, czyli tak z czystym sumieniem mogę zastanowić to zakończenie i jest ok. Dziękuję za szybką i bardzo sprawną pomoc.-- 10 wrz 2015, o 22:33 --Inne równanie, które teraz rozwiązuje:

\(\displaystyle{ \sin ^2 x -8\sin x \cos x +7 \cos^2 x=0}\)

Mogę zamienić sobie wszystko na funkcję sinus:

\(\displaystyle{ \sin ^2 x - 4\sin 2x + 7 - 7 \sin^2 x = 0}\)

Czyli

\(\displaystyle{ -6 \sin ^2 x -4\sin 2x +7 =0}\)

Teraz mogłabym np.: wykorzystać jakiś wzór na sumę Sinusów czy coś takiego ?

[Lukasz19281]

Może spróbuj podstawić \(\displaystyle{ \tg x=t}\)?

[boski_login]

Nie rozumiem, przecież nie mam tam żadnych tangensów.

[macik1423]

Podziel obie strony równania \(\displaystyle{ \sin ^2 x -8\sin x \cos x +7 \cos^2 x=0}\) przez \(\displaystyle{ \cos^{2} x}\)

[Lukasz19281]

Ale jest \(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=t\Longrightarrow \sin x=t\cos x}\).
Musisz dodatkowo założyć, że \(\displaystyle{ \cos x\neq0}\), żeby wykonać to podstawienie. Dzięki temu otrzymasz równanie z sinusem i wcześniej podstawionym t.

[Dilectus]

[...] Inne równanie, które teraz rozwiązuje:

\(\displaystyle{ \sin ^2 x -8\sin x \cos x +7 \cos^2 x=0}\)

Zrób tak:

\(\displaystyle{ \sin ^2 x -8\sin x \cos x +7 \cos^2 x=0}\)


Napiszmy to tak:

\(\displaystyle{ \underbrace {\sin ^2 x -2\sin x \cos x + \cos^2 x}_{(\sin x -\cos x)^2} \underbrace {-6\sin x \cos x+ 6 \cos^2 x}_{-6\cos x \left( \sin x-cos x \right) }=0}\)

\(\displaystyle{ \left( \sin x-\cos x\right)\left( \sin x-\cos x - 6\cos x\right)=0}\)

\(\displaystyle{ \left( \sin x-\cos x\right)\left( \sin x- 7\cos x\right)=0}\)

Dalej sobie poradzisz?

[boski_login]

\(\displaystyle{ \cos^2 x ( \tg^2 x -8\tg x +7 ) =0}\)

\(\displaystyle{ \cos^2 x ( \tg ^2 x - \tg x -7 \tg x + 7 )=0}\)

\(\displaystyle{ \cos^2 x ( \tg x - 1 )( \tg x - 7 ) =0}\)

Rozwiązania:

\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{2} + k \pi}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{4} + k \pi}\)
\(\displaystyle{ x = \arctg 7}\)

Takie odpowiedzi są dobre ?

-- 12 wrz 2015, o 07:51 --

Dilectus bardzo fajny sposób.
Dziękuję za propozycję.

\(\displaystyle{ \sin x= 7\cos x}\)

Tylko jak to rozwiązać ?-- 12 wrz 2015, o 08:04 --I mam drugie równanie, które rozwiązałam tak jak pokazałeś.

\(\displaystyle{ \cos^2 x -3\sin x \cos x +1=0}\)

\(\displaystyle{ \cos^2 x - 2 \sin x \cos x - \sin x \cos x +\sin ^2 x + \cos^2 x =0}\)

\(\displaystyle{ (\cos x - \sin x)( 2\cos x - \sin x ) =0}\)

I znowu ten sam problem:

\(\displaystyle{ 2\cos x=\sin x}\)