funkcje trygonometryczne 1 sekundy

[lukand]

Ostatnio zainteresowało mnie poszukiwanie wartości funkcji trygonometrycznych wyznaczanych analitycznie. Przebrnąłem już przez wyznaczanie wartości dla poszczególnych kątów wyrażonych jako całkowita wielokrotność jednego stopnia. Usiłowałem pójść nieco dalej w moich dociekaniach i uzyskać odpowiedź jak postępować w sytuacji, gdy jednostką nie jest pojedynczy stopień, lecz jego ułamek wyrażony w postaci sekund (w skrajanym przypadku). Niestety nie natrafiłem na informacje w tej sprawie. Chciałbym więc zapytać, czy istnieje metoda analityczna wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych gdy argumentem jest całkowita wielokrotność pojedynczej sekundy. Czy metoda taka w ogóle jest znana, czy też pozostają jedynie rozwiązania numeryczne?

[piasek101]

Ostatnio zainteresowało mnie poszukiwanie wartości funkcji trygonometrycznych wyznaczanych analitycznie. Przebrnąłem już przez wyznaczanie wartości dla poszczególnych kątów wyrażonych jako całkowita wielokrotność jednego stopnia. Usiłowałem pójść nieco dalej w moich dociekaniach i uzyskać odpowiedź jak postępować w sytuacji, gdy jednostką nie jest pojedynczy stopień, lecz jego ułamek wyrażony w postaci sekund (w skrajanym przypadku). Niestety nie natrafiłem na informacje w tej sprawie. Chciałbym więc zapytać, czy istnieje metoda analityczna wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych gdy argumentem jest całkowita wielokrotność pojedynczej sekundy. Czy metoda taka w ogóle jest znana, czy też pozostają jedynie rozwiązania numeryczne?

Przecież to muszą być przybliżenia - w większości przypadków.

[lukand]

To mi wystarczy. Dziękuję za szybką odpowiedź!

[piasek101]

Pisałem o cytacie z Twojego posta.

Nie mamy dokładnych metod na wyznaczenie ,,wartości dla poszczególnych kątów wyrażonych jako całkowita wielokrotność jednego stopnia".

[lukand]

Może nie zabrzmiało to zbyt precyzyjnie. Nie miałem bowiem na myśli wyznaczania takich wartości zakładając znajomość przeciwdziedzin funkcji trygonometrycznych jednego stopnia i wnioskowanie na tej podstawie o poszukiwanej wartości dla kąta będącego dowolną wielokrotnością rzeczonego jednego stopnia. Zamiarem moim było jedynie wskazanie na fakt, że analityczne rozwiązania istnieją dla dowolnego kąta wyrażonego stopniach bez części ułamkowej. Od najprostszych znanych wartości dla 0, 30, 45, 60, 90 stopni stosując funkcje sumy i różnicy kątów można wyznaczyć wartość dla 75 stopni. Kolejny krok stanowi sięgnięcie do złotego podziału odcinka a w ślad za tym do kątów w trójkątach tworzących pięciokąt foremny (36 i 72 stopnie). Dalsze kombinacje przy uzyskiwaniu kolejnych kątów sum lub różnic prowadzą do wyznaczania wartości każdego kąta, którego miara wyrażona jest w całkowitych stopniach. Mam nadzieję, że powyższe wyjaśnienie jest zrozumiałe.

[piasek101]

...Dalsze kombinacje przy uzyskiwaniu kolejnych kątów sum lub różnic prowadzą do wyznaczania wartości każdego kąta, którego miara wyrażona jest w całkowitych stopniach. Mam nadzieję, że powyższe wyjaśnienie jest zrozumiałe.

Nie.
Tylko niektórych.

[lukand]

A moim zdaniem każdego kąta wyrażonego w pełnych stopniach w przedziale zamkniętym od \(\displaystyle{ 0^\circ}\) do \(\displaystyle{ 90^\circ}\) (reszta wartości dla kątów w całkowitych stopniach się powtarza z uwagi na okresowość funkcji). Jestem w stanie to wykazać.

[Medea 2]

Nie musisz tego wykazywać, wystarczy, że podasz wartość \(\displaystyle{ \textstyle \sin \frac{\pi}{180}}\) (sinus jednego stopnia).

[lukand]

Zmuszony jestem do przyznania się do błędu w moim rozumowaniu. Po prostu pojedyncze potkniecie w operacjach sumowania i odejmowania kątów doprowadziło mnie do nazbyt optymistycznych wniosków. Wystarczyło bowiem, że otrzymałem wynik rzekomo istniejącego kąta o parzystej liczbie stopni niebędącego jednocześnie wielokrotnością liczby 3. Jasne stało się zatem, że analitycznie można wyznaczyć jedynie wartości funkcji dla wielokrotności kąta 3 stopni. Gdyby istniało analityczne rozwiązanie równania trzeciego stopnia jako efekt rozważenia kąta potrojonego, to wówczas wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 1 i 2 stopni były wyznaczalne.