najmniejsza i największa wartość funkcji trygonometrycznej

[mikii7]

Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin ^{2}2x}{\sin ^{4}x+\cos ^{4}x}}\)
Chcę przekształcić to do postaci podanej w odpowiedzi:
\(\displaystyle{ f(x)=-2+\frac{4}{2-\sin ^{2}2x}}\)
ale mi nie wychodzi... robię to tak:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin ^{2}2x}{\sin ^{4}x+\cos ^{4}x}=\frac{4\sin ^{2}x\cos ^{2}x}{\sin ^{4}x-(1-2\sin ^{2}x+\sin ^{4}x)}=\frac{4\sin ^{2}x\cos ^{2}x}{-1+2\sin ^{2}x}}\)
i tu stoję w miejscu...
pomoże ktoś?

[bosa_Nike]

W mianowniku masz \(\displaystyle{ t^4+u^4=\left(t^2+u^2\right)^2-2t^2u^2}\), tzn. \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}\sin^22x}\).

[mikii7]

To będę miała:
\(\displaystyle{ \frac{\sin^{2}2x}{1-\frac{1}{2}\sin^{2}2x}=\frac{2sin^{2}2x}{2-2\sin^{2}2x}}\)
nie wiem jak dalej to przekształcić...
i nie wiem skąd wziął się wzór na \(\displaystyle{ t^{4}+u^{4}}\) czy jest on w tablicach czy można go samemu wyprowadzić?

[bosa_Nike]

Nie tyle będzie w mianowniku.
Jak już poprawnie obliczysz, to dodaj i odejmij cztery w liczniku.

\(\displaystyle{ t^4+u^4=\left(t^2\right)^2+\left(u^2\right)^2}\), a suma kwadratów dwóch składników to kwadrat ich sumy minus ich podwojony iloczyn, prawda?

[mikii7]

Ma Pani rację. Walnęłam błąd, nawet się nie przyglądając. Rozumiem już skąd się wziął tamten wzór, ale dalej nie wiem jak przekształcić:
\(\displaystyle{ \frac{\sin^{2}2x}{1-\frac{1}{2}\sin^{2}2x}=\frac{2\sin^{2}2x+4-4}{2-\sin^{2}2x}=\frac{-2(2-\sin^{2}2x)+4}{2-\sin^{2}2x}}\)
co dalej?

[bosa_Nike]

Już masz wszystko. Rozbij na dwa ułamki, uprość - dostaniesz wyrażenie z odpowiedzi.

[mikii7]

DZIĘKUJĘ ZA POMOC