Elementarny wzór

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić:
\(\displaystyle{ \sin \left( 2\alpha \right) = 2\sin \left( \alpha \right) \cos \left( \alpha \right)}\)

Ukryta treść:    

gdy \(\displaystyle{ < 0^{o}< \alpha <90^{o}}\)
elementarnie tj. bez innych wzorów trygonometrycznych
możliwe różne sposoby...?

[karolex123]

Rozważmy trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \left| AC\right|=\left| BC\right|=a}\). Prowadzimy wysokość \(\displaystyle{ CD}\), która pokrywa się z dwusieczną kąta \(\displaystyle{ ACB}\). Niech \(\displaystyle{ \left| CD\right|=h}\) i \(\displaystyle{ \angle ACD=\angle BCD= \alpha}\). Wtedy pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{a ^{2}\sin 2 \alpha }{2}}\). Z drugiej strony pole tego trójkąta możemy wyrazić jako \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{ah \sin \alpha }{2}=ah \sin \alpha}\). Zarazem \(\displaystyle{ h=a \cos \alpha}\) zatem ostatecznie
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sin 2 \alpha }{2}=a ^{2}\sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow \sin 2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha}\)

Drugi sposób:
Znowu niech będzie dany trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \left| AC\right|=\left| BC\right|=a}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ACB=2 \alpha}\). Prowadzimy wysokość \(\displaystyle{ CD}\) i wyliczamy długość podstawy \(\displaystyle{ b}\). Mamy \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2}b }{a}=\sin \alpha}\) skąd \(\displaystyle{ b=2a \sin \alpha}\). Teraz z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\left( 90 ^{\circ} - \alpha \right) } = \frac{b}{\sin 2 \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\cos \alpha }= \frac{2a \sin \alpha }{\sin 2 \alpha }}\)
Ostatecznie otrzymujemy tezę \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha =2 \sin \alpha \cos \alpha}\)

[Michalinho]

Z liczb zespolonych. Niech \(\displaystyle{ z=\cos\alpha+i\sin\alpha}\).
\(\displaystyle{ z^2=\cos^2\alpha+2i\sin\alpha\cos\alpha-\sin^2\alpha}\).
Z twierdzenia de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z^2=\cos2\alpha+i\sin2\alpha}\).
Porównując części urojone mamy dowód.

[mol_ksiazkowy]

Jeśli narysować okrąg o średnicy \(\displaystyle{ 1}\) i po obu jej półkolach odłożyć kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) to \(\displaystyle{ \sin (\alpha+ \beta)}\) odpowiada cięciwie naprzeciw tego kąta*;
W zadaniu o coś takiego chodzi aby ten \(\displaystyle{ \sin (2\alpha)}\) zinterpretować geometrycznie
* tu zaś sinus sumy to twierdzenie Ptolemeusza...(która ma dowód elementarny ale nie taki oczywisty).

Ukryta treść:    

poprawne rozwiązania ale podejście z polem bardziej tu pasuje