Funkcja trygonometryczna - równania trygonometryczne

[Antek1122]

Dzień dobry, bardzo prosiłbym o pomoc, ponieważ nie potrafię zrozumieć w jaki sposób rozwiązane jest to zadanie, tzn. skąd wzięły się podane niżej wartości, bardzo bym prosił o rozpisanie mi krok po kroku.

a) \(\displaystyle{ \sin \left( x- \frac{ \pi }{3} \right) =- \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x- \frac{ \pi }{3}=- \frac{1}{2}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2} + \frac{ \pi }{3} +2k \pi}\)
(tutaj nie wiem skąd wzięło się - \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\)) \(\displaystyle{ x=- \frac{ \pi }{6}+ \frac{ \pi }{3}+2k \pi}\) lub (tutaj nie wiem skąd wzięło się \(\displaystyle{ \left( - \pi \right)}\) \(\displaystyle{ x=- \pi +2k \pi + \frac{ \pi }{3}}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{ \pi }{6}+2k \pi + \frac{2 \pi }{6}}\) lub \(\displaystyle{ x=- \frac{2}{3} \pi +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6}+2k \pi}\)


b) \(\displaystyle{ \tg x \le -1}\)

\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{2} ; \frac{ \pi }{4}\right\rangle}\)(domknięty nawias)
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{2} +2k \pi ; \frac{ \pi }{4} +k \pi}\)(domknięty nawias)

[Dilectus]

Popatrzmy na to równanie.

\(\displaystyle{ \sin(x- \frac{ \pi }{3})=- \frac{1}{2}}\)

Gdzie funkcja sinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) ?

Sprawdźny to, rozwiązując oczywiste równanie

\(\displaystyle{ \sin z =- \frac{1}{2}}\), z którego wynika, że \(\displaystyle{ z=- \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee z= \frac{7}{6}\pi +2k\pi}\)

Wobec tego, jeśli argument funkcji sinus równy jest temu, co obliczyliśmy, to funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\)

U nas argumentem \(\displaystyle{ z}\) jest \(\displaystyle{ x- \frac{ \pi }{3}}\)

Możemy więc napisać, że

\(\displaystyle{ x- \frac{ \pi }{3}=- \frac{\pi}{6}+2k\pi}\)

lub

\(\displaystyle{ x- \frac{ \pi }{3}= \frac{7}{6}\pi +2k\pi}\)

i wyliczamy stąd iksy.

[Igor V]

a)Trochę naćkałeś tych wyników w związku z czym nie wiem ,które u Ciebie to odpowiedź.Mi wyszło \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x= \frac{3\pi}{2}+2k\pi}\)

b)Warto zrobić sobie wykres.Z niego i z własności widać że \(\displaystyle{ \tg(x)=-1=-\tg\left( \frac{\pi}{4}\right)=\tg\left(- \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow x=- \frac{\pi}{4}+k\pi}\) (\(\displaystyle{ \pi}\) bo taka jest okresowość tangensa).Patrzysz teraz na ten rysunek na jakimś fragmencie długości okresu ,czyli \(\displaystyle{ \pi}\) np: \(\displaystyle{ \left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}\) i zaznaczasz te \(\displaystyle{ x}\) ,które spełniają tę nierówność ,czyli \(\displaystyle{ x\in\left( -\frac{\pi}{2}+k\pi,- \frac{\pi}{4}+k\pi\right]}\)

-- 23 sie 2015, o 19:49 --

Uprzedzony przez Dilectus,

[Antek1122]

Ok, mam wszystko! Błąd był w rozwiązaniu, już wiem jak to się robi i dziękuję za wytłumaczenie. Pozdrawiam serdecznie