Rozwiąż równanie z trzecią potęgą

[pawelinho96]

Witam mam problem z rozwiązaniem tego rownania moglby ktos pomoc ?


\(\displaystyle{ \sin ^{3}+\cos ^{3}=1}\)

[kerajs]

Analizując to równanie wykluczyć należy sytuację w której sinus lub kosinus jest ujemny. Rozwiązanie będzie z I ćwiartki.
\(\displaystyle{ \cos ^3 x=1- \sin ^3 x}\)
Podnoszę obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ \cos ^6 x=(1- \sin ^3 x)^2}\)
\(\displaystyle{ (1-\sin ^2 x)^3=(1- \sin ^3 x)^2}\)
\(\displaystyle{ 2\sin ^6 x-3 \sin ^4 x-2 \sin ^3 x+3 \sin ^2 x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin ^2 x (\sin x-1)^2 (2 \sin ^2 x +4 \sin x+3)=0}\)
\(\displaystyle{ x=k2 \pi \vee x= \frac{ \pi }{2} +k2 \pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)

Pewnie można szybciej i ładniej, ale ciepło jest i pora lekko późna.

[a4karo]

Mozna i ładniej i szybciej.
Jeżeli \(\displaystyle{ x\neq k\pi/2}\) to
\(\displaystyle{ |\sin^3x+\cos^3 x|\leq |sin^3 x|+\cos^3 x|<\sin^2 x+\cos ^2 x=1}\)

wystarczy zatem jeszcze wykluczyć przypadki gdy \(\displaystyle{ \cos x=-1}\) lub \(\displaystyle{ \sin x=-1}\) i już.

[Zahion]

\(\displaystyle{ \sin^{3} x + \cos^{3} x = \sin^{2} x+ \cos^{2} x}\)
czyli równoważnie,
\(\displaystyle{ \sin^{2} x\left(\sin x - 1\right) + \cos^{2} x \left(\cos x - 1 \right) = 0}\), a tutaj już oczywiste.

[a4karo]

Ładne