Problem z rozpracowaniem geometrii figury

[PawelBe]

Witam wszystkich jako nowy użytkownik tego forum. Chciałbym się zwrócić o pomoc w zakresie trygonometrii. Po latach pracy zawowodwej przyszło mi mieć do czynienia z geometrią. Zagadnienia nie są skomplikowane i o dziwo całkiem nie najgorzej poradziłem sobie z dotychczasowymi. Coś tam jednak w głowie zostało. Jedno, z prostszych jak mi się na początku, zagadnień chyba jednak mnie pokonało. Dotychczasowe próby rozwiązania kończyły się albo zbyt dużą liczbą niewiadomych, albo w najlepszym wypadku uzyskania uwikłanej formy równania. Mam wrażenie jakby mi uciekła jakaś ważna zależność w tej figurze.

Jeśli ktoś byłby na tyle uprzejmy i miał ochotę zmierzyć się z poniższym zadaniem to będę bardzo wdzięczny za pomoc. Poniżej zilustrowany problem. A jeśli moje dzieci zapytają mnie kiedyś po co mają uczyć się czegoś w szkole, to podam im właśnie ten przykład . Nigdy nie wiadomo...

[mortan517]

Można spróbować rozwiązać równanie kwadratowe ze względu na tangens połowy kąta.

Doszedłem do takich zależności:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a}{b}=\tan \frac{\alpha}{2} \\ \frac{c}{d-a}=\tan \alpha \end{cases}}\)

A ponadto mamy \(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}}\)

[PawelBe]

Bardzo Ci dziękuję mortan517 za naprawdę cenną pomoc. Niby wychodziłem z tych zależności, ale Twój zapis był tak klarowny, że w końcu udało mi się coś z tym zrobić. Największy bałagan robił mi się chyba przez skorzystanie z wzoru na tg połowy kąta, a nie podwojonego. Plątałem się wówczas tak, że nic nie byłem z tym w stanie zrobić. Po podstawieniu twoich równań stworzyłem równanie kwadratowe i w końcu udało mi się rozwiązać problem. Musiałem sobie jeszcze tylko przypomnieć jak to było z tymi wielomianami 2-go stopnia, a to po ponad 15 latach wcale nie takie proste Poniżej rozwiązanie dla ciekawych:

\(\displaystyle{ a=\frac{d- \sqrt{d ^{2}+c ^{2}-2cb}}{2-\frac{c}{b}}}\)

\(\displaystyle{ \alpha =2 \cdot arc tg( \frac{a}{b})}\)

Mam nadzieję, że zapis w LaTeX się udał. Raz jeszcze mortan517 ogromne dzięki za pomoc.