Ponieważ \(\displaystyle{ 2\sin u \sin v=\cos(u-v)-\cos(u+v)}\), to mamy \(\displaystyle{ 2 \sin(4x+8y) \sin(3x+10y)=\cos(x-2y)-\cos(7x+18y)}\). Z pierwszego równania uzyskujemy, że \(\displaystyle{ x=2y+2k\pi \vee x=\pi-2y+2k\pi, k \in \ZZ}\)
1) jeśli \(\displaystyle{ x=2y+2k\pi}\), to wstawiając tę zależność do drugiego równania i korzystając z okresowości cosinusa dostajemy \(\displaystyle{ 5\cos(16y) -\cos(32y)=3}\); nietrudno zaś stwierdzić, że \(\displaystyle{ \cos 2z=2\cos^{2}z-1}\). No i następnie, po skorzystaniu z tego i podstawieniu \(\displaystyle{ s=\cos(16y)}\) dostajemy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ -2s^{2}+5s-2=0}\), które jest brzydkie, a jego rozwiązania to chyba
(bo zapomniałem wzoru na deltę, a nie chce mi się go szukać; w sumie mogłem sprowadzić do postaci kanonicznej i przerobić to na różnicę kwadratów, ale gorąco jest). Oczywiście niemożliwym jest by \(\displaystyle{ \cos(16y)=2}\), więc mamy \(\displaystyle{ \cos(16y)= \frac{1}{2}}\), tj. \(\displaystyle{ y= \frac{\pi}{3}+2k\pi \vee y=- \frac{\pi}{3}+2k\pi, k \in \ZZ}\), a z kolei odpowiednio \(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}\pi+2k\pi, x=- \frac{2}{3}\pi+2k\pi}\) jakoś tak. Podsumowanie rozwiązań z tego podpunktu: \(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{2}{3}\pi+2k\pi\\ y= \frac{\pi}{3}+2k\pi \end{cases} \vee \begin{cases} x= -\frac{2}{3}\pi+2k\pi\\ y= -\frac{\pi}{3}+2k\pi \end{cases}}\)
Wszędzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).
2) jeśli \(\displaystyle{ x=\pi-2y+2k\pi}\), to po wstawieniu tej zależności do drugiego równania dostajemy (po skorzystaniu z okresowości cosinusa) \(\displaystyle{ \cos(\pi-4y)-\cos(7\pi+4y)+5\cos(7\pi-12y)=4}\)
czyli równoważnie, po kolejnych sztuczkach z okresowością i zachowaniem cosinusa, \(\displaystyle{ \cos(12y)=- \frac{4}{5}}\), a odpowiedź to już trzeba napisać w terminach funkcji cyklometrycznych (chyba że przeoczyłem ładniejsze rozwiązanie), nie chce mi się.
To przez stres spowodowany tym, że zapomniał wzór na Deltę, Premislav błędnie wyznaczył rozwiązanie równania: \(\displaystyle{ \cos16y=\frac{1}{2}}\). Powinno być:
Premislav, no nie wiem. Szydełkowanie obfituje w problemy matematyczne - trzeba znać się na liczeniu oczek. Często też trzeba obliczyć długość włóczki na podstawie liczby oczek, albo odwrotnie - ile oczek wyjdzie Ci z 25 m włóczki. Jak widać, nie jest to prosta sprawa.
