Jak uzasadnić okresowiść funkcji

[tadu983]

Jak uzasadnić że funkcja\(\displaystyle{ f(x)= \frac{\cos x}{2 -\sin x}}\) ma okres podstawowy równy \(\displaystyle{ 2\pi}\)?

[mol_ksiazkowy]

Jeśli \(\displaystyle{ f(x)=f(x+s)}\) i niech \(\displaystyle{ x =\frac{\pi}{2}}\) itd.

[tadu983]

Dla każdego \(\displaystyle{ k \in [0,2\pi]}\)prawdą jest
\(\displaystyle{ \cos(x+k)=\cos(x)}\)
\(\displaystyle{ \sin(x+k)=\sin(x)}\)

Więc
\(\displaystyle{ f(x+k)=f(x)}\)

Czy tak jest dobrze?

[Nakahed90]

Nie. Aby pokazać okresowość musimy wykazać, że (warunek z dziedziną jest spełniony):
\(\displaystyle{ (\forall x\in \mathbb{R})(f(x+2\pi)=f(x))}\).

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\), wówczas:
\(\displaystyle{ f(x+2\pi)=...}\)

Spróbuj dalej sam rozpisać.

[tadu983]

\(\displaystyle{ f(x+2\pi)= \frac{\cos(x+2\pi)}{2-\sin(x+2\pi)} = \frac{\cos(x)}{2-\sin(x)} =f(x)}\)
Teraz chyba ok.

[Nakahed90]

Jak najbardziej jest ok.

[tadu983]

Jeszcze tylko takie pytanko. Ten sposób argumentowania nie dowodzi tego że jest to okres podstawowy, natomiast dowodzi że funkcja ma okres 2 pi.

[Nakahed90]

Ja bym się powołał na to, że dla sinusa i kosinusa jest to okres podstawowy.

@edit; Rację ma Seth Briars, więc powyższe uzasadnienie okazuje się bzdurą.

[tadu983]

No tak. Dziękować za pomoc.

[musialmi]

Chwila moment, to żeby udowodnić prostszą rzecz nie wystarczy "w funkcji \(\displaystyle{ f}\) tak jest, bo w sinusie i cosinusie tak jest", ale do trudniejszej rzeczy już wystarczy?
Proszę o dowód nt. okresu podstawowego, bo sam próbowałem i mi nie wyszło nic mądrego.

[Seth Briars]

Jeszcze tylko takie pytanko. Ten sposób argumentowania nie dowodzi tego że jest to okres podstawowy, natomiast dowodzi że funkcja ma okres 2 pi.

Ja bym się powołał na to, że dla sinusa i kosinusa jest to okres podstawowy.

W ten sposób mógłbyś dojść do błędnego wniosku, że okresem podstawowym \(\displaystyle{ \cot(x)}\) jest \(\displaystyle{ 2\pi}\), gdyż \(\displaystyle{ \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}\).

Co do zadania - można pokazać, że gdyby \(\displaystyle{ t}\) było okresem funkcji z \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\), to byłoby \(\displaystyle{ f(t)=f(0)=\frac{1}{2}}\), wyznaczyć z tego równania \(\displaystyle{ t}\) (z uwzględnieniem \(\displaystyle{ t \in (0,2\pi)}\)) i np. pokazać, że \(\displaystyle{ f\left(t+\pi\right) \neq f(\pi)}\)