Część wspólna obrazów

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ f(x)= (e^x, e^{2x}, 1- e^{-x})}\), gdy \(\displaystyle{ x \in R}\),
\(\displaystyle{ g(x)= (1-x, \cos(x), \sin(x))}\), gdy \(\displaystyle{ x \in R}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(R) \cap g(R) = \{ (1, 1, 0) \}}\).

[kerajs]

Należy rozwiązać trzy równania:
1) \(\displaystyle{ e^x= 1-x \ \Rightarrow \ x=1}\)
2) \(\displaystyle{ e^{2x}=\cos x \ \Rightarrow \ x=0 \vee x \approx -1,523}\)
3) \(\displaystyle{ 1- e^{-x}=\sin x \ \Rightarrow \ x=0}\)
i dlatego:
\(\displaystyle{ f(R) \cap g(R) = \{ (1; 1; 0) , (1;-1,523;0 )\}}\)

Edit
@ Nakahed90,
Ale siara.
Oczywiście, każde z tych równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

[Nakahed90]

Należy rozwiązać trzy równania:
2) \(\displaystyle{ e^{2x}=\cos x \ \Rightarrow \ x=0 \vee x \approx -1,523}\)
3) \(\displaystyle{ 1- e^{-x}=\sin x \ \Rightarrow \ x=0}\)

Te równania mają trochę więcej rozwiązań.

[mol_ksiazkowy]

a i jeśli \(\displaystyle{ (a, b, c) \in g(R)}\) to \(\displaystyle{ b^2+c^2=1}\)

[Qń]

Przede wszystkim nie takie równania należy rozwiązywać.

Jeśli \(\displaystyle{ \vec{v} \in f(\RR) \cap g(\RR)}\), to znaczy, że istnieją \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(a)=g(b)=\vec{v}}\), a stąd dostajemy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}e^a=1-b\\
e^{2a}=\cos b\\
1-e^{-a}=\sin b\end{cases}}\).

Stąd mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (1-b)^2=\cos b\\ 1- \frac{1}{1-b}=\sin b\end{cases}}\)
Ponieważ prawe strony są z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\), więc lewe też muszą, a stąd łatwo wynika, że \(\displaystyle{ bin [0,1)}\). W szczególności więc sinus i cosinus są dodatnie. Z drugiego równania mamy:
\(\displaystyle{ 1-b = \frac{1}{1-\sin b}}\), więc po wstawieniu do pierwszego dostajemy:
\(\displaystyle{ 1=\cos b (1-\sin b)^2}\)
Po prawej stronie wszystkie czynniki są dodatnie i nie przekraczają jedynki, zatem muszą być po prostu równe jeden, więc \(\displaystyle{ b=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), a z uwagi na wspomniany przedział musi być po prostu \(\displaystyle{ b=0}\) i co za tym idzie \(\displaystyle{ a=0}\). Stąd istotnie \(\displaystyle{ \vec{v}=(1,1,0)}\).

Q.

[mol_ksiazkowy]

zmodyfikowane: Niech \(\displaystyle{ F(x)= ( e^{2x}, 1- e^{-x})}\), gdy \(\displaystyle{ x \in R}\),
\(\displaystyle{ G(x)= ( \cos(x), \sin(x))}\), gdy \(\displaystyle{ x \in R}\).
Ile to jest \(\displaystyle{ F(R) \cap G(R)}\) ?

[kerajs]

I jeszcze Pan Qń słusznie mi wykazał (aż świeżbi aby napisać : kopnął) złą interpretację tematu. Ale wtopa.

\(\displaystyle{ e ^{2a}= \cos b \wedge 1- e ^{-a}= \sin b \\ e ^{4a}= \cos ^2 b \wedge 1- 2e ^{-a}+e ^{-2a} = \sin ^2 b}\)
dodając stronami :
\(\displaystyle{ e ^{4a}+ 1- 2e ^{-a}+e ^{-2a} = 1 \\ e ^{6a}- 2e ^{a} +1=0 \\ e ^{a}=1 \vee e ^{a} \approx 0,509 \\ a=0 \vee a \approx -0,675}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \left( a=0 \wedge b=k2 \pi \right) \vee \left( a \approx -0,675 \wedge b \approx \arccos(0,509^2)+k2 \pi\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)
co daje szukany obraz:
\(\displaystyle{ F \cap G=\left\{ (0; k2 \pi ), ( \approx -0,675; \approx 1,308+k2 \pi )\right\}}\)

[wielkireturner]

I jeszcze Pan Qń słusznie mi wykazał (aż świeżbi aby napisać : kopnął) złą interpretację tematu. Ale wtopa.

\(\displaystyle{ e ^{2a}= \cos b \wedge 1- e ^{-a}= \sin b \\ e ^{4a}= \cos ^2 b \wedge 1- 2e ^{-a}+e ^{-2a} = \sin ^2 b}\)
dodając stronami :
\(\displaystyle{ e ^{4a}+ 1- 2e ^{-a}+e ^{-2a} = 1 \\ e ^{6a}- 2e ^{a} +1=0 \\ e ^{a}=1 \vee e ^{a} \approx 0,509 \\ a=0 \vee a \approx -0,675}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \left( a=0 \wedge b=k2 \pi \right) \vee \left( a \approx -0,675 \wedge b \approx \arccos(0,509^2)+k2 \pi\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)
co daje szukany obraz:
\(\displaystyle{ F \cap G=\left\{ (0; k2 \pi ), ( \approx -0,675; \approx 1,308+k2 \pi )\right\}}\)

Świerzbić jest przez rz, rozumowanie na pewno poprawne.