Równanie trygonometryczne z parametrem.

[Argris]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:

Wyznacz wartości parametru a, \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \left( \cos x - \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \left( \sin x - a\right)=0}\) ma trzy różne rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0,2 \pi \right\rangle}\).

Proszę o udzielenie wskazówek jak rozwiązać to zadanie

[Chewbacca97]

\(\displaystyle{ \left( \cos x - \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \left( \sin x - a\right)=0}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee \sin x = a}\)

Z pierwszego masz:

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4} \vee x= \frac{7 \pi}{4}}\)

No, ale chcesz mieć 3 rozwiązania w danym przedziale. Rysujesz więc wykres funkcji sinus w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0,2 \pi \right\rangle}\) , zaznaczasz iksy, które już obliczyliśmy i szukasz miejsca, gdzie będziesz miał jeszcze jedno rozwiązanie.

odpowiedź:    

\(\displaystyle{ a=1 \vee a=-1 \vee a=\frac{ \sqrt{2} }{2} \vee a= - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)