Równanie trygonometryczne z wartością bezwzględną.

[Argris]

Mam problem z następującym równaniem trygonometrycznym:
\(\displaystyle{ \sqrt{4\cos ^{2}x+4\cos x+1 }=1}\)

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia i definicji wartości bezwzględnej wyrażenie pod pierwiastkiem przekształciłem do postaci wartości bezwzględnej otrzymując:
\(\displaystyle{ \left|2\cos x+1\right|=1}\)

Następnie opuściłem wartość bezwzględną otrzymując:
\(\displaystyle{ 2\cos x+1=1 \vee 2\cos x+1=-1}\)

Rozwiązałem równanie i otrzymałem rozwiązania:
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} +2k \pi \vee x= -\frac{ \pi }{2} +2k \pi \vee x= \pi +2k \pi \vee - \pi +2k \pi ,k \in \mathbb{C}}\)

W odpowiedziach zbioru zadań są tylko rozwiązania:
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} +2k \pi \vee x= \pi +2k \pi}\)

Proszę o wskazanie i wyjaśnienie błędów.

Z góry dziękuje

[wiedzmac]

Rozwiązałeś zadanie poprawnie.

[Marcinek665]

Zauważ przede wszystkim, że każde rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ x = \pi + 2k \pi}\) jest jednocześnie też rozwiązaniem postaci \(\displaystyle{ -\pi + 2k \pi}\), czyli tego drugiego rozwiązania nie trzeba pisać, bo już jest ujęte.

Z kolei \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x = -\frac{\pi}{2} + 2k \pi}\) jest dobrze. Prawdopodobnie w rozwiązaniu chcieli ująć obydwie te serie rozwiązań jako jedno, mianowicie \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + k \pi}\), a napisało im się \(\displaystyle{ 2k}\) zamiast \(\displaystyle{ k}\)