Nierówność + wartość bezwzględna

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
asign123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 272
Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 76 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: asign123 »

Witam
Mam taką nierówność :

\(\displaystyle{ \left| \cos x \right| \le \frac{\cos x}{\left| x - 5 \right| }}\)

Opuszczam wart. bezwzględna przy cosinusie - rozpisuje na dwa przypadki, gdy jest większy lub równy i mniejszy od zera.

W pierwszym przypadku - gdy cosinus jest większy lub równy zero, po obu stronach nierówności mam nieujemne wartości , więc mogę mnożyć dzielić jak chce i przez co chcę ?
Pablo82
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 356
Rejestracja: 31 maja 2015, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 79 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: Pablo82 »

asign123,
No może nie "jak chcę i przez co chcę" - liczbę \(\displaystyle{ 5}\) musisz wyłączyć z dziedziny; mnożenie stronami przez zero też sensu nie ma.
asign123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 272
Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 76 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: asign123 »

No tak, dziedzina ustalona , ale np. jeśli obie strony są nieujemne, to w nierówności mogę np. przez mianownik, no nie ?

-- 14 lip 2015, o 15:17 --

Jeszcze jedno pytanie : Całe zadanie mam rozbite na cztery przypadki : Gdy cosinus jest większy lub równy i mniejszy od zera, a te dwa są rozbite też na dwa : Gdy \(\displaystyle{ x > 5}\) i gdy \(\displaystyle{ x < 5}\).

Czy rozwiązanie powinno być sumą przedziałów z dwóch "głównych przypadków" ( cosinus jest większy lub równy i mniejszy od zera), a z kolei te dwa główne powinny być częścią wspólną przedziałów rozwiązań gdy \(\displaystyle{ x > 5}\) i gdy \(\displaystyle{ x < 5}\) ? Czyli przykładkowo dla przypadku gdy cosinus mniejszy niż zero rozwiązanie to część wspólna rozwiązania dla \(\displaystyle{ x > 5}\) i gdy \(\displaystyle{ x < 5}\) i analogicznie dla cosinusa większego lub równego zero, i wtedy suma tych dwóch ?
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: bosa_Nike »

Zaoszczędzisz trochę czasu i "przypadków", jeżeli przyjrzysz się tej nierówności, bo ona prawie wcale nie wymaga rachunków, przyda się za to przebieg zmienności kosinusa.

Wsk. Prawa strona nie może być mniejsza od zera, bo lewa jest odeń niemniejsza.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: Medea 2 »

Dokładnie tak jak sugeruje bosa_Nike, najpierw rozpatrz (osobno) miejsca zerowe cosinusa, a potem przekształć nierówność do

\(\displaystyle{ |x-5| \le \frac{\cos x}{|\cos x|}}\).
asign123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 272
Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 76 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: asign123 »

Miejsca zerowa cosinusa znam, ale nie rozumiem żeby je rozpatrzyć osobno. Osobno dla jakich przypadków
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: Medea 2 »

Jeżeli \(\displaystyle{ \cos x = 0}\), to \(\displaystyle{ |\cos x| = 0}\) i to, co napisałam, jest bez sensu: przez zero wszak dzielić nie można.
asign123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 272
Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 76 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: asign123 »

Sory, ale wciąż nie wiem jak użyć waszych rad i to rozwiązać..Zrobicie to z wytłumaczeniem ? Niby proste, a zatrzymuje mnie już 2 dni to zadanie ..
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: Premislav »

Ojej, ale to naprawdę nie jest trudne. Gdy cosinus jest ujemny (wypisz, kiedy to ma miejsce), to nierówność nie zachodzi, bo iloraz liczby ujemnej i liczby dodatniej jest ujemny, gdy cosinus jest równy zeru, to zachodzi równość, czyli OK (wypisz...), a gdy cosinus jest dodatni (napisz, dla jakich \(\displaystyle{ x}\) to zachodzi, korzystając z okresowości cosinusa), to Twoja nierówność jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ \left| x-5\right| \le 1}\).
asign123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 272
Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 76 razy

Nierówność + wartość bezwzględna

Post autor: asign123 »

Oki, z cosinusa zerowego wyszło proste : \(\displaystyle{ x = \pi k - \frac{ \pi }{2}}\)


z cosinusa większego niż zero :
\(\displaystyle{ x \in \left\langle 4,6\right\rangle}\) , wyrzucając oczywiście piątke według dziedziny.
No i jako że cosinus większy niż zero, to mam takie coś :
\(\displaystyle{ x \in \left\langle \frac{3 \pi }{2}, 5 \right)}\)
i do tego przypadku jeszcze : \(\displaystyle{ x \in \left( 5,6\right)}\)
Czyli wychodzi na to że bierze się pod uwagę przybliżoną wartość pi ?

Wolfram nie pokazuje natomiast w rozwiązaniach dokładnego rozwiązania dla \(\displaystyle{ \cos x = 0}\) tylko takie coś (3 pierwsze linijki z real solutions)
... Cx-5%7C%29

Z czego to wynika ?
ODPOWIEDZ