Mała nierówność trygonometryczna

[asign123]

Witam
Mam taką nierówność :

\(\displaystyle{ \sqrt{\sin^2 x - \sin x} - \cos x \ge 0}\)

Czy mogę pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ \sqrt{\sin^2 x - \sin x} + \cos x}\)
Żeby pozbyć się pierwiastka ?

Jak nie to jakim sposobem do tego podejść ?
Pozdrawiam !

[Premislav]

Jeżeli chcesz tak pomnożyć, to musisz rozważyć dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ \sqrt{\sin^2 x - \sin x} + \cos x > 0}\)

2)\(\displaystyle{ \sqrt{\sin^2 x - \sin x} + \cos x < 0}\)
(a może i trzeci, bo nie można mnożyć stronami przez zero, więc oddzielnie trzeba by sprawdzić, czy może być \(\displaystyle{ \sqrt{\sin^2 x - \sin x} + \cos x = 0}\) i co się wtedy dzieje).

Alternatywne podejście:
przerzucasz \(\displaystyle{ \cos x}\) na drugą stronę i rozważasz dwa przypadki prostsze niż te, które wymieniłem w związku z Twoim sposobem:
1a) \(\displaystyle{ \cos x \le 0}\) - ponieważ pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, to wówczas nierówność zachodzi. Wyznacz te \(\displaystyle{ x}\), dla których jest \(\displaystyle{ \cos x \le 0}\)
2a) \(\displaystyle{ \cos x>0}\) - w tym wypadku podnosisz stronami do kwadratu, po czym korzystasz z jedynki trygonometrycznej i dostajesz nierówność kwadratową po podstawieniu \(\displaystyle{ t=\sin x}\) (pamiętaj, że \(\displaystyle{ -1 \le t \le 1}\)). Rozwiązaniem z tego podpunktu jest \(\displaystyle{ \left\{ x: \cos x>0 \wedge \sqrt{\sin^2 x - \sin x} \ge \cos x
\right\}}\)
no i bierzesz sumę tego, co otrzymałeś w 1a) i 2a)

[asign123]

Co do 1a :

\(\displaystyle{ \sqrt{\sin^2 x - \sin x} \ge \cos x}\) przy założeniu \(\displaystyle{ \cos x \le 0}\)
Skoro pierwiastek po lewej stronie jest nieujemny i jest to większe lub równe niż cosinus, a z pierwszego założenia cosinus jest mniejszy lub równy zero, to chyba wychodzi równość ?

[piasek101]

Żadna równość, przecież było :

1a) \(\displaystyle{ \cos x \le 0}\) - ponieważ pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, to wówczas nierówność zachodzi. Wyznacz te \(\displaystyle{ x}\), dla których jest \(\displaystyle{ \cos x \le 0}\)

[asign123]

W drugim przypadku : Z czego wynika to że mogę w nierówności podnosić do kwadratu stronami ?

[piasek101]

Bo obie strony masz nieujemne.

[asign123]

Jeden mały problem przy 1a

Rozwiązaniem nie będzie samo \(\displaystyle{ \cos x \le 0}\)
Wolfram pokazuje takie coś : ... 20-%20sinx)%20%5Cge%20cosx%2C%20cosx%5Cle%200

O co chodzi ?

Wydaje mi się że rozwiązanie to będzie część wspólna \(\displaystyle{ cos x \le 0}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{ \sin^2 x - \sin x} \ge 0}\)

-- 13 lip 2015, o 23:34 --

Faktycznie. A teraz w 2a ? Ten warunek nieujemności pierwiastka też będzie konieczny w 2a i czy on też musi być częścią wspólną rozwiązana z 2a ?-- 13 lip 2015, o 23:43 --Bo w 2a przyjmując że nieujemność pierwiastka musi być częścią wspólną "normalnego rozwiązania" to wszystko cyka

[kropka+]

Pierwiastek jest zawsze nieujemny. Dziedzina jest taka, żeby pod pierwiastkiem była liczba nieujemna. Rozwiązanie musi należeć do dziedziny.