Wyznaczanie zbioru wartości - jak ?

[asign123]

Witam
Jak się wyznacza zbiór wartości funkcji trygonometrycznej ?
Myślałem o pochodnych, tyle że dział trygonometrię miałem przed pochodnymi więc trzeba to było zrobić innym sposobem.

Zadanie brzmi :
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) o dziedzinie \(\displaystyle{ D \in \left\langle 0, 2 \pi \right\rangle}\)
1) \(\displaystyle{ f(x) = 2\cos x - \cos 2x}\), przekształciłem do \(\displaystyle{ f(x) = -2\cos ^2x + 2\cos x}\)
2) \(\displaystyle{ f(x) = \cos 2x + 5\sin x + 7}\)

W pierwszym podpunkcie można w sumie podstawić za \(\displaystyle{ \cos x}\) dowolną zmienną, będzie równanie kwadratowe, obliczyć wierzchołek który będzie w tym przypadku maksimum, a minimum w nieskończoności. Co o tym myślicie ?

Drugie jeszcze nie wiem..

[Poszukujaca]

W pierwszym podpunkcie można w sumie podstawić za \(\displaystyle{ cosx}\) dowolną zmienną, będzie równanie kwadratowe, obliczyć wierzchołek który będzie w tym przypadku maksimum, a minimum w nieskończoności.

Tak, to dobry sposób.

W drugim przykładzie możesz tak samo. Wykorzystaj wzór na \(\displaystyle{ \cos 2 \alpha}\)

[Jan Kraszewski]

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) o dziedzinie \(\displaystyle{ D \in \left\langle 0, 2 \pi \right\rangle}\)

To zdanie nie ma sensu, bo dziedzina nie może należeć do przedziału, może co najwyżej być przedziałem.

JK

[asign123]

Czyli równa się ?

[Dilectus]

Czyli równa się ?

Tak, można powiedzieć, że dziedzina równa się jakiemuś przedziałowi, ale lepiej powiedzieć, że dziedziną jest ten przedział. Często dziedziną jest suma czy iloczyn kilku przedziałów i wtedy mówimy, że dziedziną jest suma czy iloczyn tych przedziałów.

[asign123]

W pierwszym zadaniu źle napisałem, powinno być tak

\(\displaystyle{ f(x) = 2\cos x - \cos 2x = - 2\cos^2 x + 2 \cos x + 1}\)

Mam równanie kwadratowe, podstawiłem sobie \(\displaystyle{ t}\) za \(\displaystyle{ \cos x}\) obliczyłem wartość wierzchołka paraboli, czyli maksymalna wartość do naszego zbioru wartości funkcji, wyszło tak jak w Wolframie czyli \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)
Ale dolna wartość funkcji kwadratowej z ujemnym współczynnikiem \(\displaystyle{ a}\) powinna być minus nieskończoność, a w wolframie dolna granica naszego zbioru wartości to \(\displaystyle{ -3}\)

O co chodzi ?

[pesel]

Chodzi o to, że:

\(\displaystyle{ -1 \le t=\cos x \le 1}\)

[asign123]

Tak, tylko że dolna granica zbioru wartości ma wyjść\(\displaystyle{ -3}\)
Intuicyjnie jak mam tę funkcję\(\displaystyle{ f(x) = 2\cos x - \cos 2x}\) to odjąłbym najmniejsze wartości tych funkcji no i wtedy by wyszło \(\displaystyle{ -3}\), tyle że to raczej działanie na czuja, intuicyjnie, "bo tak mi się wydaje że będzie dobrze". Mógłby mi to ktoś rozjaśnić jak to się powinno robić ?

[kerajs]

A zwiniecie w kwadrat nie będzie wygodną postacią do wyznaczenia przeciwdziedziny?
1) \(\displaystyle{ f \left( x \right) = 2\cos x - \cos 2x=-2 \left( \cos x- \frac{1}{2} \right) ^2+ \frac{3}{2}}\)

2) \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \cos 2x + 5\sin x + 7=-2 \left( \sin x- \frac{5}{4} \right) ^2+ \frac{89}{8}}\)

Edit:
Przepraszam za wtrącenie się z innym pomysłem.
1)
\(\displaystyle{ M=f\left( \cos x= \frac{1}{2} \right)=-2 \left( \frac{1}{2}- \frac{1}{2} \right) ^2+ \frac{3}{2}=\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ m=f\left( \cos x=-1 \right)=-2 \left( -1- \frac{1}{2} \right) ^2+ \frac{3}{2}=-3}\)

2)
\(\displaystyle{ M=f\left( \sin x= 1 \right)=-2 \left( 1- \frac{5}{4} \right) ^2+ \frac{89}{8}=11}\)
\(\displaystyle{ m=f\left( \sin x= -1 \right)=-2 \left( -1- \frac{5}{4} \right) ^2+ \frac{89}{8}=1}\)

[asign123]

1) parametr \(\displaystyle{ q = \frac{3}{2}}\) będzie wtedy maksem, ale co z minimum ?

[pesel]

Tak, tylko że dolna granica zbioru wartości ma wyjść\(\displaystyle{ -3}\)

Skoro to jest parabola skierowana gałęziami do dołu to sprawdź wartości funkcji na na krańcach przedziału. No i szukamy najmniejszej wartości, a nie minimum funkcji.