Prosta nierówność

[asign123]

Witam
Proszę o pomoc z nierównością :
\(\displaystyle{ 4\sin^3x > \cos2x}\)

przekształciłem do :
\(\displaystyle{ 2\sin^2(x)(2\sin(x)+1) > 1}\)

i jak to teraz rozwiązać ? Mam co prawda tylko jedną zmienną ale wciąż nie wiem co z tym zrobić...

Pozdrawiam i czekam na odpowiedz !

[piasek101]

Przekształć do postaci \(\displaystyle{ .................>0}\) i poszukaj miejsc (możesz coś podstawić za sinusa) zerowych lewej strony (nie ma ich dużo).

[asign123]

Moje równanie teraz wygląda tak :

\(\displaystyle{ \left( \sin \left( x \right) - \frac{1}{2} \right) \left( 4\sin ^2x+4\sin x + 2 \right) > 0}\)

Delta wyrażenia w drugim nawiasie ujemna
Czyli miejscem zerowym równania będą wartości \(\displaystyle{ x}\) gdzie \(\displaystyle{ \sin \left( x \right) = \frac{1}{2}}\)

I co dalej ?

[piasek101]

Skoro delta zawartości drugiego nawiasu jest ujemna, to ta zawartość jest zawsze dodatnia - dzielisz więc nierówność przez ,,drugi nawias" i zostaje Ci normalna nierówność trygonometryczna.

[asign123]

Okej, "działa", dzięki

-- 7 lip 2015, o 18:47 --

A jeszcze jedna nierówność :

\(\displaystyle{ \tg2x < 2\sin(x)}\)

przekształciłem do :
\(\displaystyle{ \sin(x) ( \frac{2\cos(x) - 2 + 4\sin^2x}{1-2\sin^2x} ) < 0}\)

gdzie z drugiego nawiasu miejsce zerowe wyszło mi gdy \(\displaystyle{ \cos(x) = 0 \vee \cos(x) = \frac{1}{2}}\)
Co teraz ?

[piasek101]

Dziedzina i zamienić tangensa na iloraz odpowiednich funkcji, rozpisać sinusa podwojonego kąta; wszystko na lewą, wyłączyć co się da przed nawias.

Dalej można rozpatrywać przypadki (bo masz iloczyn dwóch czynników) :
a) pierwszy ujemny i drugi dodatni
lub
b) pierwszy dodatni i drugi ujemny.

[asign123]

Dziedzina i zamienić tangensa na iloraz odpowiednich funkcji, rozpisać sinusa podwojonego kąta; wszystko na lewą, wyłączyć co się da przed nawias.

To właśnie zrobiłem

Dalej można rozpatrywać przypadki (bo masz iloczyn dwóch czynników) :
a) pierwszy ujemny i drugi dodatni
lub
b) pierwszy dodatni i drugi ujemny.

I co , najpierw pierwszy czynnik mniejszy od zera, potem drugi większy od zera i potem na odwrót ? I odrzucić rozwiązania niezgodne z dziedziną ? To by było tylko tyle ?

Co do tego że drugi czynnik jest mniejszy lub większy od zera : pierwszy to sobie łatwo rozpisać nierówność, ale w drugim mam tylko miejsca zerowe drugiego, więc nie za bardzo wiem jak to rozpisać jako nierówność

[piasek101]

Drugi też możesz rozpisać jako iloraz (i w konsekwencji iloczyn) dwóch wyrażeń.

[asign123]

W pierwszej było prosto bo tylko jeden pierwiaste i drugi czynnik zawsze dodatni...a jak tu pierwiastków jest kilka ?
Nie wiem jak to zastosować Twoją poradę do tej nierówności..

[piasek101]

Bo i nie jest to wygodne, looknę jeszcze może coś przyjemniejszego wpadnie mi na klawiaturę.

[edit] Półgraficznie - naszkicować tego tangensa i podwójnego sinusa; i zobaczyć gdzie (zaraz obliczymy dokładnie) tangens jest pod sinusem.

Jak wyznaczyć miejsca przecięcia tangensa (podwojonego argumentu) z podwojonym sinusem :
- dziedzina
- rozwiązać równanie (zamiast nierówności - w przedziale od zera do 2 pi)

A jak :
- zamienić tangensa na takie z pojedynczym x-sem (klasyczny wzór)
- następnie zamienić tangensy na ilorazy odpowiednich funkcji
- wszystko na lewą; podzielić przez 2; sinus przed nawias
- po wyznaczeniu miejsc zerowych sinusa (to są rozwiązania); założyć, ze sinus nie jest zerowy i przez niego podzielić
- resztę przekształcić (cosinus nie jest zerem) do kwadratowego z cosinusem.

[florek177]

rozpisujesz podwójnego cosinusa, dla cosinusa w kwadracie - jedynka, redukujesz wyrazy, podstawiasz za sinusa zmienną pomocniczą i masz równanie trzeciego stopnia. łatwo zgadniesz rozwiązanie
\(\displaystyle{ \sin (x) = \frac{1}{2}}\)

[piasek101]

Ale to już dawno było wyjaśnione.

[asign123]

- rozwiązać równanie (zamiast nierówności - w przedziale od zera do 2 pi)

Właśnie to robie ..
Jednym z moich równań do rozwiązania jest :

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\cos2x} = 1}\)
Czy rozwiązania będą równe gdy bym bardzo łatwo przekształcił i rozwiązywał :\(\displaystyle{ \cos x= \cos2x}\) ???

Kiedy mogę sobie tak mnożyć stronami ? Bo już nie pamiętam z wymiernych

[piasek101]

Po ustaleniu dziedziny (a to raczej masz ) tak możesz zrobić - rozwiązania będą jednakowe.

[asign123]

Dobra .

Tak w ogóle to założenie przy zadaniu miało być \(\displaystyle{ x \left( 0, 2 \pi \right)}\)
Po rozwiązaniu RÓWNOŚCI i zerknięciu na wykres mam takie rozwiązania :

\(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{ \pi }{4} \right)}\),
\(\displaystyle{ x \in \left( \frac{ \pi }{4}, \frac{ 2\pi }{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ x \in \left( \frac{ 3\pi }{4}, \pi \right)}\),
\(\displaystyle{ x \in \left( \frac{ 5\pi }{4}, \frac{ 4\pi }{3} \right)}\),

Dzięki za tę metodę, na matmie rozszerzonej może być takie coś ? Bo w sumie trochę zabawy z tym jest, i jest to trochę czasochłonne ...