Mała tożsamość

[asign123]

Witam
Proszę o pomoc z zadaniem :
Trzeba udowodnić tą tożsamość i podać odpowiednie założenia :
\(\displaystyle{ \frac{\cos(2y-x)-\sin(x+180)}{\sin(2y-x)+\cos(180+x)} = \ctg(y-45)}\)

Prawą stronę przekształciłem do takiego czegoś :
\(\displaystyle{ \frac{\sin(y)+\cos(y)}{\sin(y)-\cos(y)}}\)

Natomiast to co po lewej mogłem zrobić z wzorami redukcyjnymi to zrobiłem, a dalej nie idzie
Czekam na propozycje i pozdrawiam !

[octahedron]

\(\displaystyle{ \frac{\sin y+\cos y}{\sin y-\cos y}=\frac{\sin y+\sin\left(90^o-y\right)}{\sin y+\sin\left(y-90^o\right)}=\frac{2\sin 45^o\cos\left(y-45^o\right)}{2\sin\left(y-45^o\right)\cos 45^o}=\\=\frac{\cos\left(y-45^o\right)}{\sin\left(y-45^o\right)}=\ctg\left(y-45^o\right)}\)

[mortan517]

Autor właśnie dokonał, takiego przekształcenia Problem jest z lewą stroną.

[asign123]

No dokładnie mortan517.

Jakieś propozycje co do lewej strony ?

-- 3 lip 2015, o 18:32 --

??

-- 3 lip 2015, o 22:27 --

Wolfram twierdzi że to prawda, więc nie ma pomyłek przy przepisaniu. Jest jakiś pomysł na lewą stronę ?

-- 5 lip 2015, o 00:04 --

UWAGA ! Zgubiony warunek do zadania !

\(\displaystyle{ y-x \neq π/4 + kπ}\)-- 5 lip 2015, o 00:06 --\(\displaystyle{ y-x \neq \frac\pi{}{4} + k \pi}\) poprawka

[octahedron]

\(\displaystyle{ \frac{\cos(2y-x)-\sin(x+180)}{\sin(2y-x)+\cos(180+x)}=\frac{\cos(2y-x)+\sin x}{\sin(2y-x)-\cos x}=\frac{\cos(2y-x)+\cos(90^o-x)}{\sin(2y-x)-\sin(90^o-x)}=\\
=\frac{2\cos(y-x+45^o)\cos(y-45^o)}{2\cos(y-x+45^o)\sin(y-45^o)}=\frac{\cos(y-45^o)}{\sin(y-45^o)}=\ctg(y-45^o)}\)

[asign123]

Wielkie dzięki
Teraz jak do tego wszystkiego ma się założenie do zadania : \(\displaystyle{ y - x \neq \frac{ \pi }{4} + k \pi}\) ?
Nie za bardzo wiem jakie ono ma tu znaczenie...

[mortan517]

Ma się tak, żeby nie dzielić przez zero. W dowodzie nic nie zmienia.